Derivadas parciales
En la sección anterior vimos que calcular una derivada direccional
desde la definición puede requerir un trabajo algebraico detallado.
Sin embargo, hay dos direcciones particularmente simples:
(1,0) y (0,1).
Analicemos qué ocurre en estos casos.
La derivada parcial de respecto de en el punto
se define como
,
si el límite existe.
Se denota , o .
De forma similar, la derivada parcial de respecto de en el punto
se define como
,
si el límite existe.
Se denota , o .
Conexión con derivadas direccionales
La derivada parcial respecto de corresponde
a la derivada direccional en la dirección .
La derivada parcial respecto de corresponde
a la derivada direccional en la dirección .
Es decir,
,
.
Interpretación geométrica.
Para calcular , mantenemos fija la variable
y dejamos variar únicamente .
Geométricamente, esto corresponde a cortar la superficie
con el plano vertical paralelo al plano .
Análogamente, se obtiene
al cortar la superficie con el plano vertical
paralelo al plano .
En el applet anterior:
1. Elige la derivada parcial respecto a .
Observa el plano de corte y la pendiente de la recta tangente.
2. Elige la derivada parcial respecto a .
Observa nuevamente la pendiente.
Calcula , en el punto y compara ambos valores con las pendientes respectivas.
Cambia el valor de y repite el análisis anterior.
Calculando explícitamente la derivada parcial con respecto a x
Sea .
Por definición,
.
Sustituimos:
.
Factorizando , el cociente queda
.
Usando la regla de L'Hopital, obtenemos
Por tanto,
.
El resultado anterior coincide con lo que se obtiene
si consideramos la función de una variable
,
manteniendo fijo,
y derivamos respecto de x como en cálculo de una variable.
Es decir,
calcular la derivada parcial respecto de
equivale a derivar la función considerando
a la otra variable como constante.
Ejercicio
Sea .
1) Usa la definición
para calcular explícitamente la derivada parcial respecto de .
2) Comprueba que el resultado coincide con derivar la función
considerando constante.
Las derivadas parciales contienen información
sobre el comportamiento de la función
en las direcciones coordenadas.
Surge entonces una pregunta natural:
¿Será posible reconstruir la derivada direccional
en cualquier dirección a partir de y ?
Esto lo analizaremos en la siguiente sección.