hoeken

hoeken van de ruit

Met de formules voor goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek bepalen we de hoeken van de ruit.
De hoekwaarden = 70.53° en = 109.47° die bij de extremumwaarde voor x horen zijn exact de hoekwaarden die Maraldi in 1712 experimenteel vaststelde.

helling van de ruiten t.o.v. het horizontale vlak

Ook deze hellingshoek vinden we als een hoek in een rechthoekige driehoek.
Voor x = vinden we als hellingshoek van de drie ruiten met het horizontale vlak: = 35.26°

theorie en praktijk

De perfecte zeshoekige raten die we zien in de bijenkasten worden niet aangemaakt door de bijen zelf. De imkers zetten de bijen een eind op weg en leveren het raster. Wilde bijen hebben niet deze luxe. Hoewel erg regelmatig, zijn hun cellen niet altijd zeshoekig. Ook vijfhoeken en zevenhoeken komen voor. Ze starten ook in holtes met een onregelmatige vorm, de werkbijen gaan onafhankelijk aan de slag en deze bouwsels vormen naden waar ze elkaar tegenkomen. Het is langs deze naden dat vijfhoeken, zevenhoeken en andere onregelmatigheden voorkomen. De Amerikaanse professor wetenschappen H. Randall Hepburn deed experimenteel onderzoek in Zuid-Afrika. Hij bood bijen zeshoekige rasters aan ven verschillende grootte. In het raster met de grootste zeshoeken bouwden de bijen rozetten van vijf of zes cellen, vijf-of zevenhoekig van vorm, rond een centrale cel. Een iets kleiner raster leidde tot een onregelmatig patroon. In een nog iets kleiner raster bouwden de bijen zeshoekige cellen in de hoeken van het basisrooster, waarbij ze centraal een zeshoekige 'valse' cel open lieten. De bijen toonden zich in deze experimenten erg flexibele probleemoplossers. Hepburns bevindingen zijn in boekvorm verkrijgbaar.
Image

meer informatie

Wiskundigen deden ook verder theoretisch onderzoek naar alternatieve vormen en optimalisatie van volume t.o.v. de nodige hoeveelheid was. Een aanzet tot verdere lectuur vind je op de webpagina honeycomb-geometry. Ook het gerenommeerde tijdschrift Nature publiceerde een zeer interessant artikel van de Italiaanse wetenschapper Francesco Nazzi. Zoals je van Nature kan verwachten vind je er veel beschrijvende informatie, aangevuld met gedetailleerd studiemateriaal en referenties naar studies over hoe bijen bouwen.