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Quadratische Vektorfelder 2

Auteur :Walter Füchte

Dieses Applet kann kritisch sein!

 Lösungskurven eines quadratisches Vektorfeldes sind Integralkurven einer elliptischen Differentialgleichung des Typs:
Die Brennpunkte (Nullstellen) des Vektorfeldes können bewegt werden. Der Mittelpunkt des Gitters und des Richtungsfeldes ebenso. Von aus gehen zwei orthogonale stückweise linear-approximierende Lösungskurven. Diese sind komplex-punktweise in einer Tabelle erzeugt worden. In jede der vier Richtungen gehen 100 Linienstücke. Kommen diese in die Nähe der Nullstellen, entsteht Chaotisches. Die Lösungskurven sind allgemein für jede beliebige Lage der Brennpunkte für spezielle Drehwinkel Winkelhalbierende der Büschelkreise und . Sie bilden also ein orthogonales Kurvennetz! Die Lösungen der elliptischen Differentialgleichungen werden als "doppelt periodisch" bezeichnet. In welchen Richtungen sind die Lösungskurven geschlossen?
  • Lösungskurven sind bei vier verschiedenen Nullstellen in speziellen Lagen der Nullstellen und nur in speziellen Richtungen konfokale bizirkulare Quartiken: Dies ist nur dann der Fall, wenn die absolute Konstante der vier Punkte reell ist (siehe Kap 4: Lage von 4 Punkten).
Die Nullstellen liegen dann auf einem Kreis, oder sie liegen spiegelsymmetrisch paarweise auf zwei orthogonalen Kreisen. Die Brennpunkte der konfokalen bizirkularen Quartiken sind die Nullstellen des Vektorfeldes. Fallen Nullstellen zusammen, erhält man konfokale Kegelschnitte, wenn man die mehrfache Nullstelle nach verlegt. Die Anzeige der Verbindungskreise von je drei Nullstellen kann unterstützen, solche Lagen einzustellen! Das Folgende ist eine vage Beschreibung geometrischer Sachverhalte: Man kann Kreisbüschel als Wellenbewegung deuten. Wellen bewegen sich von einer Quelle aus in Richtung einer Senke. Die Wellen sind die Kreise des elliptischen, die Ausbreitungsrichtung wird durch die Kreise des hyperbolischen Büschels beschrieben. Parabolische Kreisbüschel deuten wir als Wellen, die sich in einem Punkt und einer Richtung berühren. Quadratische Vektorfelder mögen wir uns vorstellen als Überlagerung von zwei solchen Wellenbewegungen: die resultierende Welle und Ausbreitungsrichtung ergeben sich aus den Winkelhalbierenden. Das sieht dann allerdings nicht so aus wie die Bewegung unten, welche jedoch durch Bewegen der Büschelpunkte auch skurile Bilder erzeugt! Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

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