Hinweise zu den Lösungen
- Autor:
- Poeck
Pfeile und Vektoren
Der Weg von A nach S kann als Pfeil aufgefasst werden. Ein solcher Verschiebungspfeil kann durch zwei Koordinaten beschrieben werden. Ein Zahlenpaar heißt Vektor. Vektoren werden zur Unterscheidung von Punkten als Spalte geschrieben.
Die Koordinaten eines Vektors kann man mithilfe der Koordinaten des Anfangspunktes und Endpunktes berechnen, indem man jeweils die Differenz der x- und y-Werte bildet.
Vektoraddition (Vektorsubtraktion analog)
Die Koordinaten des Vektor berechnet sich über die Summe der Vektoren a und b. Addiert man zwei Vektoren und , erhält man die Koordinaten eines Vektors, der vom Starpunkt zum Endpunkt der aneinander gelegten Vektoren führt.
Die Summe zweier Vektoren wird über die Summe der Koordinaten berechnet:
Gegenvektor
Die Koordinaten eines Gegenvektors kann man berechnen, indem man den Vektor mit (-1) multipliziert (jede Koordinaten von wir mit (-1) multipliziert).
Verschiebung um einen Vektor
Jedem Punkt wird der Vektor zugeordnet, der vom Ursprung zum Punkt P verläuft. heißt Ortsvektor von P. Die Verschiebung von einem Punkt C zu einem Punkt C' um den Vektor kann durch die Addition des Ortsvektor von C und dem Vektor berechnet werden.
Den Vektor vom Punkt C zum Punkt C' kann durch die Differenz der Koordinaten der entsprechenden Ortsvektoren bestimmt werden.
Skalarmultiplikation
Multipliziert man ein Skalar t mit einem Vektor , bedeutet das, dass a für |t|>1 mit dem Faktor t verlängert und für |t|<1 verkürzt wird.
Jede Koordinate des Vektors wird jeweils mit dem Skalar multipliziert:
Der Vektor a und zeigen in die gleiche Richtung, wenn t>0.
Der Vektor a und zeigen in die entgegen gesetzte Richtung, wenn t<0.
Der Betrag eines Vektors
Der Betrag oder die Länge eines Vektors berechnet sich über die Wurzel der Summe der
Der Betrag des Vektor beträgt: