El niño Gauss

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cálculo mental. Cuenta la leyenda que cuando Gauss tenía 9 años, estando en la escuela, sumó casi al instante los cien primeros números. Históricamente, lo único comprobado es que Gauss resolvió un problema de forma precisa y fulgurante, asombrando a todos. Que el problema fuese ese precisamente se añadió a la historia años más tarde, no por testigos directos, así que la exactitud del hecho es bastante cuestionable. Ahora bien, lo hiciera o no, Gauss (llamado "el príncipe de las Matemáticas") realizó tantas proezas desde muy joven (fue un niño prodigio que aprendió a sumar sin que nadie le enseñase, por ejemplo) que muy bien hubiera podido realizar ese cálculo u otros más complicados. Esta actividad sirve de portada del Proyecto Gauss, denominado así en su honor.
  1. Pulsa el botón de Reproducir y observa detenidamente la animación. ¿Crees que hay algún motivo especial por el que se usan dos colores (azul y rojo) para diferenciar las cuentas (bolitas en el cordel)?
  2. En la animación se emparejan unas bolitas con otras. ¿De qué forma, es decir, qué criterio se sigue? ¿Con qué cuenta se empareja la bolita 3? ¿Y la cuenta 73?
  3. Escribe en tu cuaderno, con tus palabras, cómo podría Gauss haber sumado muy rápidamente los 100 primeros números para obtener el resultado (5050).
  4. El procedimiento que muestra la animación no es el único que permite sumar rápidamente los cien primeros números, aunque tal vez sea el más rápido. Si imaginamos una larga suma de los 99 primeros números, unos debajo de otros, veremos que en las unidades aparecen 10 veces cada cifra del 1 al 9, y lo mismo ocurre en las decenas. Como las cifras del 1 al 9 suman 45, las unidades sumarán 450 y las decenas 4500, en total, 4950. Basta sumar 100 y listo. Otra forma diferente de realizar la misma suma la puedes ver activando la casilla "Otra mirada". Para que comprendas cómo funciona, empezaremos sumando 1+2. Esta suma la puedes interpretar como 1 casilla más 2 casillas, o bien como una escalera de dos peldaños. En la aplicación puedes ver que si juntamos dos escaleras iguales formamos un rectángulo de 2x3=6 casillas, así que cada escalera tiene 3 casillas (1+2=3). Mueve el deslizador a n=3 e intenta realizar el mismo razonamiento.
  5. Mueve el deslizador a n=6. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? ¿Cuántas casillas tendrá entonces cada escalera 1+2+3+4+5+6?
  6. Mueve el deslizador a n=20. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? ¿Cuántas casillas tendrá entonces cada escalera 1+2+3+...+20? ¿Qué pasará entonces cuando n sea 100?