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Was steckt alles im Graphen? | Analyse von Graphen | Didaktische Hinweise

Autor:SINUS NRW, GeoGebra Team, Reinhard Schmidt, Paul Werner
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Kurzinformation

  • Einführungsphase Mathematik
  • Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A)
  • Markante Punkte (Extrempunkte/ Achsenschnittpunkte) am Graphen entdecken
  • Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/g32c7b2h

Leitgedanke zur Aktivität

Die Lernenden erkunden den Zusammenhang zwischen dem Grad einer Funktion und der Anzahl und Art der markanten Punkte am Graphen, indem sie selbstgewählte Funktionen systematisch variieren und untersuchen.

Vorwissen und Voraussetzungen

Die Schülerinnen und Schüler können...
  • Grundfunktionen von GeoGebra-Grafikrechner nutzen (Schieberegler, Kontrollkästchen, Ansicht verschieben).
  • Extrema und Achsenschnittpunkte von Graphen benennen.

Beiträge zum Kompetenzerwerb

Die Schülerinnen und Schüler...
  • bestimmen die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten und von ganzrationalen Funktionen (MSB NRW, 2023, S. 22, Funktionen und Analysis (A)),
  • erläutern mathematische Begriffe in innermathematischen und anwendungsbezogenen Zusammenhängen (MSB NRW, 2023, S. 20, Kommunizieren),
  • entwickeln tragfähige Argumentationsketten durch die Verknüpfung von einzelnen Argumenten (MSB NRW, 2023, S. 12, Argumentieren),

Didaktische Hinweise

Ziel und Verlauf
  • Die Lernenden strukturieren ihr Wissen über Extrema und Achsenschnittpunkte und ihre Bedeutung für den Verlauf des Graphen.
  • Die Aktivität 1 Spiel: Graphen (gut) beschreiben entwickelt die Problemstellung "Welche Informationen sind notwendig/hinreichend, um Funktionen eindeutig zu charakterisieren?". Hier wird der Fokus auf den kommunikativen Prozess gelegt.
  • Die Aktivität 2 Wovon hängt die Anzahl der markanten Punkte des Graphen ab? ermöglicht eine systematische Untersuchung vieler Funktionen in Abhängigkeit des Grads der Funktion. Die Lernenden erhalten dadurch die Möglichkeit vielfältig heuristische Strategien anzuwenden. Die Aktivität läd zum Explorieren ein, vernetzt die Darstellungsformen der Funktionsgleichung mit dem Graphen und durch die Variation der Parameter über Schieberegler wird das Verständnis dem Kalkül vorgezogen.
Potenzial
  • Nach der Erarbeitung bietet sich eine weitere Spielrunde an, in der die Lernenden sowohl in der Lage sein sollten durch bessere Informationen als auch durch korrekte Fachsprache die Wortmenge zur Beschreibung deutlich zu senken. Hieran kann dann auch der Lernerfolg gemessen werden.
  • Durch die Einbindung von Funktionen mit Grad 0, 1 und 2, wird an das Vorwissen aus der Mittelstufe angeknüpft.
  • Das Spiel kann in weiteren Unterrichtsstunden auch als wiederholender Einstieg im Plenum gespielt werden und so das Kommunizieren im Kurs anregen und unterstützen.
Differenzierung
  • Die Aktivitäten sind selbstdifferenzierende Aufgaben und bieten individuelle Zugänge und ermöglichen daher unterschiedliche Lernwege, auch für schwache Lernende. Starke Lernende können die Untersuchung direkt mit höheren Graden beginnen.
  • Treten individuelle Schwierigkeiten beim Variieren der Parameter auf, können konkrete Funktionsgleichungen mitgegeben werden, die entsprechende Eigenschaften gut zeigen.
  • Durch das einleitende Spiel und die Wiederholung nach der Erarbeitung wird die Verbalisierung des Lernweges angeregt.
  • Insbesondere in der Aktivität Spiel müssen die Lernenden selbst entscheiden, wann ein übertragender Funktionsgraph so stark dem ursprünglichen Graphen entspricht, dass die Übermittlung als Erfolg gesehen werden darf und sie werden dabei zum Aushandeln von Lösungen und Lösungsqualitäten gebracht. Gerade durch die Wiederholung des Spiels, können sich hier ändernde Maßstäbe niederschlagen und eine Reflexion angeregt werden.
Umsetzungsvorschlag
  • Aufgrund der unterschiedlichen Zugänge, den resultierenden unterschiedlichen Lernwegen und ggf. unterschiedlichem Lerntempo, ist eine anschließende Plenarphase des Austausches notwendig. Hier können durch konkrete Angabe von Parametersätzen falsche Vermutungen widerlegt werden, sodass hier auch Begründungen eingefordert werden.
  • Zur Vorentlastung der Unterrichtsstunde sollten die Lernenden die Art von markanten Punkten kennen, sodass die Untersuchung zielführend ablaufen kann.
Einordnung der Lernumgebung "[i]Was steckt alles im Graphen?[/i]" entsprechend der in [url=https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft]https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft[/url] vorgestellten didaktischen Spannungsfelder.
Einordnung der Lernumgebung "Was steckt alles im Graphen?" entsprechend der in https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft vorgestellten didaktischen Spannungsfelder.

Veränderungsvorschläge / Zusätze im Material

  • Für schwache Lerngruppen kann es sinnvoll sein, Parametermengen vorzugeben, die besonders gut die Abhängigkeiten der Anzahl an markanter Punkte vom Grad zeigen.
  • Für starke SchülerInnen kann zusätzlich die Frage aufgeworfen werden, für welche Parametermengen der Graph eine - und welche Art von - Symmetrie aufweist.
  • Als Anschluss an diese Einheit bietet sich die Untersuchung der Ordnung von Nullstellen an: https://www.geogebra.org/m/htxrnhr3

Aktivität 1 | Spiel: Graphen (gut) beschreiben (10 Minuten)

https://www.geogebra.org/m/aexdf86e Die Lernenden spielen in Gruppen das Spiel mit zufällig generierten Funktionsgraphen. Ziel ist es, möglichst exakt die Informationen über den Graphen weiterzugeben, die es ermöglichen, den Graphen möglichst exakt zu skizzieren. Die Anregung über die skizzierten Graphen zu diskutieren und markante Punkte über den Tipp zuzuschalten, ermöglicht erste Zusammenhänge selbst zu entdecken.

Aktivität 2 | Wovon hängt die Anzahl der markanten Punkte des Graphen ab? (30 Minuten)

https://www.geogebra.org/m/jn96nvve Die Lernenden untersuchen die Art und Anzahl der markanten Punkte am Graphen in Abhängigkeit des Grads der Funktion. Dabei sollte mit einem niedrigen Grad begonnen und dieser schrittweise erhöht werden. Die Lernenden stellen Hypothesen über den Zusammenhang von Grad und Anzahl und Art der markanten Punkte auf und prüfen sie bei anderen Graden. Als Hilfestellung kann die Tabelle verwendet werden, um die systematische Untersuchung zu entlasten.

Aktivität 5 | Wiederholung des Spiels (10 Minuten)

Die Lernenden spielen noch einmal das Spiel und können dabei direkt das Gelernte anwenden. Durch die Fokussierung auf charakterisierende Punkte sollte hier auch durch präzisere Fachsprache ein Lernzuwachs beobachtet gemessen werden können. Die Lernenden sollten hierbei angeregt werden, ihre Spielrunden miteinander zu vergleichen. Dabei reflektieren sie automatisch ihren Lernprozess aus der Erarbeitung.

Aktivität 3 | Übung: Grad einer Funktion vermuten (10 - 30 Minuten)

https://www.geogebra.org/m/cakwbnys Die Lernenden können in dieser Aktivität übend überprüfen, ob die Lerninhalte verinnerlicht wurden. Als Übungsaktivität können zufällig Aufgaben generiert, gelöst und automatisch ausgewertet werden (richtig/ falsch). Die Lernenden wenden dabei direkt die Kompetenzen an, die sie in den vorangegangenen Aktivitäten erlernt haben sollen. Diese Aktivität kann daher auch für Prüfungssituationen herangezogen werden. Für starke Lernende bietet die Variante mit Funktionen vom Grad bis 20 eine mögliche Herausforderung.

Prüfungssituation - Was steckt alles im Graphen?

Prüfungssituation - Was steckt alles im Graphen.pdf

Prüfungssituation - Was steckt alles im Graphen.pdf

Überprüfen des Lernerfolges

Während der Aktivität 3 Übung: Grad einer Funktion vermuten haben die Lernenden die Möglichkeit, ihre Vermutungen, die sie bei kleinen Graden gefunden haben, bei größeren Graden zu überprüfen. Die Tragfähigkeit ihrer Überlegungen kann bei den Funktionen bis Grad 20 getestet werden. Die Anregung, unzutreffende Grade auszuschließen stärkt die Argumentationskompetenz und verhindert ein Raten der Antwort. Bei Graden bis 5 können die Lernenden ihre Strategie prüfen, wenn sie in der Lage sind mit ein bis zwei Vermutungen den richtigen Grad zu erkennen. Der Check-Out bietet die Möglichkeit, das erarbeitete Wissen über den Einfluss des Grades auf die Anzahl der Extrema und Achsenschnittpunkte in Fachsprache zu prüfen. Die Wiederholung des Spiels ermöglicht die qualitative Beobachtung des Lernprozesses. Nach der Unterrichtssequenz bietet sich eine plenare Diskussionsphase an, in der die Lernenden über ihre Entdeckungen austauschen und unterschiedliche Aspektierungen der Untersuchungswege vorstellen können. Insbesondere durch das Widerlegen von falschen Vermutungen durch die konkrete Angabe von Parametersätzen werden unterschiedlich tiefe inhaltliche Auseinandersetzungen der Lernenden ersichtlich. Außerdem wird dadurch die Argumentationsfähigkeit in der Fachsprache geübt.

Aktivität 4 | Check-Out: Was steckt alles im Graphen? (5 Minuten)

https://www.geogebra.org/m/dnxxanyp Die Lernenden übertragen ihre Erkenntnisse auf fachsprachliche Formulierungen und prüfen so, ob die prozeduralen Kompetenzen, die sie trainiert haben, auch kommunikativ umgesetzt werden können. Gleichzeitig fokussiert und sichert diese Abfrage die sprachlichen Kompetenzen.

Aktivität 6 | Plenarphase zum Strategieaustausch (20 Minuten)

Die Lernenden tauschen sich über die gefundenen Strategien in einer Plenarphase aus, in der die Lernenden ihre Entdeckungen austauschen und unterschiedliche Aspektierungen der Untersuchungswege vorstellen können. Insbesondere durch das Widerlegen von falschen Vermutungen durch die konkrete Angabe von Parametersätzen werden unterschiedlich tiefe inhaltliche Auseinandersetzungen der Lernenden ersichtlich. Außerdem wird dadurch die Argumentationsfähigkeit in der Fachsprache geübt. Gemeinsam kann eine optimale Strategie zur Bestimmung des Grades gesichert werden.

Quellen

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