Taylor de varias variables
Desarrollo de Taylor para funciones de varias variables.
El siguiente es el Polinomio de Taylor a orden para funciones de dos variables , y en el punto ,
(1)
Otra manera de escribir es,
(2)
Esta expresión requiere ser explicada. En primer lugar,
En segundo lugar, el término,
debe entenderse como el resultado de aplicar la operación (u operador),
a la función , -veces, pero considerando a y a como si fueran constantes, es decir, independientes de y .
Para tener una idea de este procedimiento, veamos un ejemplo aplicando dos veces el operador a una función .
Ahora, si expandimos (2) usando la regla del binomio (siempre pensando a y como constantes), deducimos,
de la cual se obtiene fácilmente (1). Las fórmulas (1) y (2) son equivalentes.
De (1) o (2) el desarrollo a órden queda,
(3)
Ejemplo. Veamos cómo queda el desarrollo de Taylor a orden dos de en . A continuación calculamos cada una de las derivadas parciales que aparecen en (3). Calculamos primero las derivadas en un punto genérico ,
Cuando esas cinco derivadas parciales son evaluadas en el resultado es cero en todos los casos. Por lo tanto el desarrollo a orden dos de es simplemente .
Esto podría haberse deducido del desarrollo completo de ,
luego de la sustitución , resultando en,
y luego de descartar a todos los términos de orden mayor a dos. En este caso se descartan todos menos el primero, el término constante igual a .
En la ventana debajo se visualiza en azul la función y en rojo el desarrollo de Taylor de orden para entre y .
Ejercicio. Halle la expresión general para el desarrollo de Taylor de orden tres para funciones de dos variables en un punto .
Teorema. Sea , una función de -variables definida en un abierto de . Definimos el polinomio de Taylor a orden de en el punto como,
Entonces si definimos el resto como,
tenemos,
Notar que .
Prueba. Sin pérdida de generalidad hacemos la prueba para funciones de dos variables . Sea definida como,
La función es por ser una composición de funciones . Podemos por lo tanto escribir,
(4)
donde de acuerdo a la fórmula de Lagrange, el resto toma la expresión,
donde es un número entre y .
Observamos que y por lo tanto,
Vamos a probar primero que es justamente el polinomio de Taylor de de orden . Luego probaremos que el resto cumple,
(5)
Eso concluiría la prueba del teorema.
Calculamos usando la regla de la cadena obteniendo,
(6)
Por lo tanto,
Observe que es la función evaluada nuevamente en . Derivando una vez más con respecto a a (6) también usando la regla de la cadena tenemos,
Por la misma razón y más en general tenemos,
donde el número de derivadas que tomamos en el lado izquierdo es . Insertado en (4), el cálculo anterior da la fórmula correcta para el polinomio de Taylor .
Resta probar que el resto en su forma de Lagrange tiene la propiedad deseada. Si expandimos el resto de Lagrange obtenemos,
Observar que estamos evaluando en .
El punto ahora es el siguiente. Notamos que , de donde,
Por lo que deducimos,
(7)
Ahora, podemos escribir la siguiente desigualdad,
Todos los términos de la suma están acotados, debido a (7) y debido a que, por hipótesis, la función es en un entorno de y por lo tanto las funciones que son continuas, son también acotadas en ese entorno.
Por tanto,
Tomando el límite cuando y arribamos a (5). Esto concluye la prueba del teorema de Taylor. .