B1 Zerfallsgesetz - Herleitung
Atommüll und Atomkatastrophen - ein andauerndes Problem
"Ab dem 12. März 2011 kam es im japanischen Kernkraftwerk Fukushima zu einer Serie katastrophaler Unfälle. Dabei wurde ein Teil der radioaktiven Stoffe, die in großen Mengen in Kernreaktoren entstehen, freigesetzt und es kam zu einer erheblichen Umweltbelastung auf dem Festland.
Die Umgebung des Kernkraftwerks Fukushima-Daiichi bleibt aufgrund von Cäsium-137, welches sehr lange braucht, bis es vollständig zerfallen ist, langfristig kontaminiert. Während Jod-131 nach wenigen Monaten zerfiel, wird die radioaktive Belastung durch Cäsium noch Jahrzehnte bis Jahrhunderte spürbar sein. Die Aufräumarbeiten dauern an und können noch Jahrzehnte andauern."
Obwohl radioaktives Material also instabil ist, muss es nicht immer sofort zerfallen. Jedes Teilchen besitzt zu jeder Zeit eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass es zerfällt. Aber warum eigentlich? Wie oft bzw. wie schnell zerfallen Atome?
Wiederholung
Wiederholen Sie noch einmal grob für sich: Wie können wir den Alpha-Zerfall quantenphysikalisch grob erklären?
Begründen Sie mit dieser Erklärung: Warum muss nicht jeder instabile Atomkern sofort zerfallen? Warum besitzt also jeder Atomkern zu jedem Zeitpunkt nur eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass er zerfällt?
Der Würfel als Modell für einen instabilen Atomkern
Finden Sie ein Modell, welches den Zerfall beschreibt, indem Sie dem folgenden Text folgen:
Wir modellieren einen instabilen Atomkern aufgrund seiner zufälligen Natur vorerst als Würfel: Wir stellen uns also vor, dass die Natur zu jedem Zeitpunkt für den Atomkern würfelt. Wenn Sie eine 6 würfelt, so zerfällt der Atomkern.
Die folgende Web-App simuliert den Zerfall eines radioaktiven Isotops durch den Wurf von Würfeln:
Wenn Sie einmal auf die Animation klicken werden 150 Würfel gleichzeitig geworfen. Alle Würfel, die danach eine Sechs zeigen, werden rot markiert und gelten als zerfallen. Sie können nun von ihnen gezählt werden. Vor dem nächsten Wurf werden diese zerfallenen Würfel automatisch aussortiert.
Ein Wurf entspricht einem Zeitschritt in der Realität.
Auftrag
Messen Sie für jeden Zeitschritt t in der Animation die Anzahl der noch nicht zerfallenen Würfel N. Stellen Sie ihre Messdaten in einem t-N-Diagramm dar. (Excel?)
Machen Sie dann mit den Fragen und dem Text unter der Animation weiter.
Deutung des Diagramms
Betrachten Sie ihr Diagramm. Welche Abhängigkeit zwischen t und N kommt (auf den ersten Blick) infrage?
Mathematische Herleitung des Zerfallsgesetzes (für Würfel)
Um unsere Vermutung zu überprüfen können wir die Anzahl der noch nicht zerfallenen Würfel N in Abhängigkeit der Zeit t auch mathematisch mit einer Differentialgleichung vorhersagen. Vollziehen Sie die folgende Herleitung nach!
Da jeder Würfel die gleiche Zerfallschance hat ist klar, dass die Änderungsrate (also die erste Ableitung) von N direkt proportional zur Anzahl N ist. Es gilt also:
(hierbei ist eine Zahl, die mit der Zerfallswahrscheinlichkeit zusammenhängt)
Diese DGL ist leicht zu lösen: Wir suchen eine Funktion N(t) deren Ableitung ein Vielfaches von sich selbst ist. Hier kommt also nur eine Exponentialfunktion in Frage, so dass wir ansetzen können:Wenn die Anzahl der Kerne zum Beginn beschreibt, so muss gelten. Daraus folgt also . Damit lautet unser Ansatz nun Setzen wir diesen Ansatz in die DGL ein, so folgt: Durch "kürzen" folgt also: Insgesamt folgt also:
Sie sollten nun folgendes gelernt haben:
- Sie konnten die Herleitung zum Zerfallsgesetz nachvollziehen.