LPD33 Toepassing raaklijnen uit punt
Een opdracht ter illustratie
Opgave:
Bepaal het functievoorschrift van de raaklijn(en) uit A (2,2) aan de parabool P <> y = 4x² + 2. Controleer je antwoord met GGB.
We weten dat een raaklijn
(1) een rechte is door het punt A die
(2) met de parabool P precies 1 punt gemeenschappelijk heeft.
We gaan na wat de eerste voorwaarde betekent voor het voorschrift van een raaklijn t
Een rechte t heeft als algemeen voorschrift t <> y = mx + p
A (2,2) ligt op t dus 2 = m.2 + p; dat betekent dat p = 2 – 2m
Substitutie levert ons t 1 y = mx + (2 – 2m)
Nu gebruiken we de tweede voorwaarde.
Om te bepalen welke punten t en P gemeenschappelijk hebben, gaan we na voor welke punten het
verband tussen de coördinaatgetallen x en y gegeven wordt door zowel
y = 4x² + 2 als door y = mx + (2 – 2m)
Substitutie levert ons 4x² + 2 = mx + (2 – 2m) of 4x² - mx + 2m = 0
Als deze vergelijking slechts 1 gemeenschappelijk punt mag opleveren, moet de discriminant 0
zijn.
D = m² - 4.4.2m = 0; dus m² - 32 m = 0
m (m – 32) = 0
m = 0 of m = 32
Nu nemen we wat we te weten zijn gekomen bij de twee voorwaarden samen. We weten:
t <> y = mx + (2 – 2m) en m = 0 of m = 32 dus er zijn 2 raaklijnen
t <> y = mx + (2 – 2m) met m = 0 levert t1 <> y = 2
t <> y = mx + (2 – 2m)met m = 32 levert t2 <> y = 32x – 62
In GGB kunnen we ons antwoord controleren door het punt A en de parabool te tekenen en vervolgens via het commando raaklijn(punt, parabool) de raaklijnen te tekenen.