*M3.II.6 L LGS geometrisch deuten
Leitfrage zu Phase 6
Lässt sich ein LGS mit drei Unbekannten veranschaulichen?
Hinweis
Sollten Sie die Vertiefung A2: Analytische Geometrie wählen, können Sie diese Phase auch nach der Erarbeitung von Ebenengleichungen nutzen. Sie bietet sich jedoch auch bereits an dieser Stelle als Veranschaulichung an, die später aufgegriffen und vertieft wird.
Sollten Sie die Vertiefung A1: Vektoren und Matrizen wählen, bietet es sich hier unbedingt an, ohne die genauere Thematisierung von Ebenen, allein aus der Analogie zu Gleichungen im Zweidimensionalen diese Veranschaulichung zu behandeln.
LGS im GeoGebra 3D-Modus
Die geometrische Deutung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten im Zweidimensionalen kennen SuS aus der Sekundarstufe I. Gleichungen mit zwei Unbekannten wurden als Geraden und deren Schnittpunkt(e) als Elemente der Lösungsmenge gedeutet.
Im digitalen Arbeitsblatt
*M3.II.6 AB LGS geometrisch deuten
übertragen die SuS diese Deutung auf lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten ins Dreidimensionale.
Übertragen auf 3D bilden alle Lösungen einer linearen Gleichung mit drei Unbekannten eine Ebene und die gemeinsame Lösungsmenge dreier linearer Gleichungen (der Variablen ) bestehen aus dem Schnitt der drei Ebenen.
Im digitalen Arbeitsblatt übernimmt GeoGebra-3D die Veranschaulichung der drei Gleichungen eines LGS. Die SuS nutzen diese Darstellung und ermitteln die Lösungsmenge durch Schnitt der Ebenen.
*M3.II.6 AB LGS geometrisch deuten
übertragen die SuS diese Deutung auf lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten ins Dreidimensionale.
Übertragen auf 3D bilden alle Lösungen einer linearen Gleichung mit drei Unbekannten eine Ebene und die gemeinsame Lösungsmenge dreier linearer Gleichungen (der Variablen ) bestehen aus dem Schnitt der drei Ebenen.
Im digitalen Arbeitsblatt übernimmt GeoGebra-3D die Veranschaulichung der drei Gleichungen eines LGS. Die SuS nutzen diese Darstellung und ermitteln die Lösungsmenge durch Schnitt der Ebenen.Verständnis der Veranschaulichung unterstützen
Zum Verständnis der Veranschaulichung muss keine Ebenengleichung eingeführt werden, rein auf der Analogie zum Zweidimensionalen kann mit der Idee der Freiheitsgrade die Veranschaulichung plausibel gemacht werden:
Eine Gleichung mit zwei Unbekannten besitzt einen Freiheitsgrad, eine der beiden Unbekannten (z.B. ). Die andere Unbekannte ist durch die Gleichung festgelegt. Geometrisch lässt sich das als Gerade darstellen, wenn und als Koordinaten im ebenen Koordinatensystem gedeutet werden. Eine Richtung ist dann variabel.
Eine Gleichung mit drei Unbekannten hat dann zwei Freiheitsgrade (z.B. und ), die dritte Unbekannte ist durch die Gleichung festgelegt.
Im dreidimensionalen Koordinatensystem mit den Koordinaten kann die Gleichung als Ebene dargestellt werden, da nun zwei Richtungen variabel sind.
*Veranschaulichung des Gauß-Jordan-Verfahrens
Optional kann anschließend an die geometrische Lösung von LGS auch das Gauß-Verfahren zur Lösung von LGS veranschaulicht werden. Dazu sind im Applet
*M3.II.6 App Gauß-Jordan geometrisch
im digitalen Arbeitsblatt *M3.II.6 AB LGS geometrisch deuten die einzelnen Schritte des Verfahrens geometrisch dargestellt und können per Schieberegler durchlaufen werden.
*M3.II.6 App Gauß-Jordan geometrisch
im digitalen Arbeitsblatt *M3.II.6 AB LGS geometrisch deuten die einzelnen Schritte des Verfahrens geometrisch dargestellt und können per Schieberegler durchlaufen werden.Zeitbedarf
1h+1h Üben
Übungen
LGS geometrisch lösen und bisherige Lösungen geometrisch überprüfen
Elemente der Mathematik RP 2017 LK, S. 12, 14-18
Lambacher Schweizer 2012, S. 8-33