Teorema di Cauchy - Dimostrazione
Dimostrazione
Consideriamo la seguente funzione:
Questa funzione è la composizione delle funzioni f(x) e g(x), che verificano le ipotesi 1 e 2, quindi pure h(x) verifica le ipotesi 1 e 2 del Teorema di Cauchy.
Si calcola quindi:
ovvero
cioè h(x) verifica anche la terza ipotesi del Teorema di Rolle, per cui:
La derivata di h(x) è:
e per quanto detto sopra
Considerando le ipotesi 2 e 4, ovvero
possiamo dividere entrambi i membri e ottenere
ovvero la tesi del teorema.
Analisi della dimostrazione
Nella seguente attività sono mostrate le funzioni y=f(x) e y=g(x) che nell'intervallo [a,b] verificano tutte le quattro ipotesi del Teorema di Cauchy.
In particolare le prime due ipotesi coincidono con quelle del Teorema di Lagrange, ed infatti
Istruzioni
Nel grafico di sinistra è possibile modificare a e b in modo da variare le condizioni iniziali