Peter, der korrekte Autofahrer: Änderungen von Funktionen

Peter rühmt sich damit, ein besonders korrekter Autofahrer zu sein. Als er in den Sommerferien nach Belgien fährt, fällt ihm als erstes auf, dass in Belgien (anders als in Deutschland) auch auf den Autobahnen ein Tempolimit von 120km/h herrscht. Nach einer Pause in De Panne fährt Peter die kürzeste Route zum 240km entfernten Lüttich (siehe Abbildung 1). Am Ziel schaut Peter auf die Uhr: Er hat genau 2 Stunden gebraucht! War Peter wirklich so korrekt, wie er immer sagt und hat sich an das Tempolimit gehalten? 1) Untersuche das Fahrverhalten von Peter mithilfe der Angaben von GoogleMaps (Abb. 1) und den Aufzeichnungen von Peters Fahrtenschreiber (Abb. 2). Formuliere erste Vermutungen darüber, ob Peter wirklich ein besonders korrekter Autofahrer ist.

Notiere erst die Lösungen zu Aufgabe 1 bevor du weitermachst. 2) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit von Peter über den gesamten Zeitraum. Nutze dafür die Formel für die mittlere Änderungsrate bzw. den Differenzenquotienten mit . Um die Geschwindigkeit zu berechnen, wird die Änderung des Ortes durch die Änderung der Zeit dividiert, also . 3) Betrachte noch einmal den Graphen und notiere, woran du erkennen kannst, dass Peter nicht mit gleichmäßiger Geschwindigkeit gefahren ist. Notiere, in welchen Bereichen besonders langsam gefahren ist und in welchen er einen Blitzer hätte auslösen können.

Nachdem du erste Untersuchungen des Graphen angestellt hast, geht es nun darum, abschnittweise zu untersuchen, wie schnell Peter zwischendurch war. 4) Untersuche den unterstehenden Graphen (Abb. 2.2) abschnittsweise. Verwende dafür verschiedene Steigungsdreiecke. Variiere durch die beiden Schieberegler die zu untersuchende Stelle (=Zeit) und die größe des Steigungsdreiecks. Zoom auch ruhig in die Graphik rein! Notiere erneut, in welchen Bereichen Peter wohl besonders schnell/besonders langsam gefahren ist und begründe dies mit Hilfe der Steigungsdreiecke. Über den Knopf Lösung einblenden kannst du die Berechnungen einblenden. 5) Erkläre die Bedeutung der Steigungsdreiecke und die Bedeutung von "m" im Kontext der Autofahrt von Peter.

1. Die Änderung des Ortes in Relation zur Zeit (Strecke pro Zeit) ist die Geschwindigkeit!
2. Mithilfe einer linearen Funktion (s. Steigungsdreieck) lassen sich ganzrationale Funktionen stückweise annähern! Die Steigung berechnet man durch die Steigungsformel ....
3. Je .... das Steigungsdreieck, desto.... die Näherung!
4. Ist der Graph tendenziell flacher, ist das Steigungsdreieck ...! Ist der Graph tendenziell steiler, ist das Steigungsdreieck ...!

1. Im Fall von Peter hast du die mittlere Änderungsrate des Ortes untersucht: die Durchschnittsgeschwindigkeit
2. Du hast sie mithilfe des Differenzenquotienten berechnet.
3. Je... die Stellen beieinander liegen, desto ... nähert der Differenzenquotient die tatsächliche Steigung der Funktion!
4. Ist die Funktion flacher, ist die Änderungsrate .... Ist die Funktions steiler, ist die Änderungsrate ....!
5. Der Differenzenquotient () berechnet nur die mittlere Änderungsrate, nicht die exakte / momentane Änderungsrate!