M3.III.7 L Vektoren geometrisch deuten
Leitfrage zu Phase 7
Wie kann man sich Vektoren veranschaulichen?
Vektor als Änderungspfeil oder Zustandspunkt
Wird ein Vektor geometrisch als Pfeil interpretiert, dann beschreibt er eine Änderung. Er geht im Koordinatensystem von einem beliebigen Punkt zu einem anderen Punkt . Dabei gilt, die Komponenten des Vektors geben die Änderung der Koordinaten von zu an.
Wird ein Vektor geometrisch als Punkt interpretiert, dann beschreibt er einen Zustand. Die Komponenten des Vektors geben dann die Koordinaten des Punktes an.
Beide geometrischen Deutungen sind mathematisch sinnvoll und korrekt im Sinne der Definition des Vektors.
Dieses duale Verständnis knüpft direkt an die Zahldarstellung und -interpretation an der Zahlengeraden Primar- und Sekundarstufe an: dort haben die SuS eine Zahl als Zustand (Punkt) und als Änderung zwischen zwei Zahlen (Pfeil zwischen zwei Punkten) kennengelernt.
Im digitalen Arbeitblatt
M3.III.7a AB Zahlentupel interpretieren
werden die SuS an die beiden Deutungen (Zustand-)Punkt und (Änderungs-)Pfeil von Zahlen an der Zahlengeraden erinnert, um dann diese Deutung auf Vektoren als Zahlentupel und das ebene Koordinatensystem zu übertragen. Dies veranschaulichen sie sich im Applet
M3.III.7a App Vektoren 2D
des digitalen Arbeitsblatts M3.III.7a AB Zahlentupel interpretieren, in dem die arithmetische Schreibweise mit angegeben ist.
Anschließend untersuchen sie die Handhabung von Vektoren in 
GeoGebra-3D: hier ist die Zeilen- und Spaltenschreibweise neu, sowie der Befehl 
Dieses duale Verständnis knüpft direkt an die Zahldarstellung und -interpretation an der Zahlengeraden Primar- und Sekundarstufe an: dort haben die SuS eine Zahl als Zustand (Punkt) und als Änderung zwischen zwei Zahlen (Pfeil zwischen zwei Punkten) kennengelernt.
Im digitalen Arbeitblatt
M3.III.7a AB Zahlentupel interpretieren
werden die SuS an die beiden Deutungen (Zustand-)Punkt und (Änderungs-)Pfeil von Zahlen an der Zahlengeraden erinnert, um dann diese Deutung auf Vektoren als Zahlentupel und das ebene Koordinatensystem zu übertragen. Dies veranschaulichen sie sich im Applet
M3.III.7a App Vektoren 2D
des digitalen Arbeitsblatts M3.III.7a AB Zahlentupel interpretieren, in dem die arithmetische Schreibweise mit angegeben ist.
Anschließend untersuchen sie die Handhabung von Vektoren in GeoGebra-3D: hier ist die Zeilen- und Spaltenschreibweise neu, sowie der Befehl Vektor(A,B), der einen Änderungsvektor im Koordinatensystem erzeugt und diesen vom erstgenannten Punkt ausgehen lässt. Großschreibung bei der Eingabe erzeugt Punkte, Kleinschreibung Pfeile. Dadurch übertragen sie die Punkt- und Pfeildeutung ins Dreidimensionale.
Duale Deutung der Vektoraddition
Auch bei der Vektoraddition bieten sich zwei Deutungsmöglichkeiten ganz analog zur Vorstellung der Addition an der Zahlengeraden in der Primar- und Sekundarstufe:
Genau wie sich an der Zahlengeraden sowohl als
M3.III.7b AB Vektoraddition geometrisch
werden die SuS an die beiden Deutungen Zustand+Änderung=Zustand sowie Änderung+Änderung=Gesamtänderung der Addition von Zahlen an der Zahlengeraden erinnert, um dann diese Deutung auf Vektoren als Zahlentupel und das ebene Koordinatensystem zu übertragen.
In Aufgabe 1 sind im Applet
M3.III.7b App Vektoraddition 2D
des digitalen Arbeitsblatts M3.III.7b AB Vektoraddition geometrisch beide geometrischen Deutungen im ebenen Koordinatensystem dargestellt und die SuS sind aufgefordert die Darstellungen zu interpretieren.
In Aufgabe 2 übertragen die SuS auch diese beiden Deutungen in GeoGebra-3D ins Dreidimensionale.
- Punkt (Stelle) 2 + Pfeil (Veränderung) 3 ergibt Punkt (Stelle) 5, als auch als
- Pfeil (Veränderung) 2 + Pfeil (Veränderung) 3 ergibt Gesamtpfeil (Gesamtveränderung) 5
- Punkt (Zustand) + Pfeil (Veränderung) ergibt Punkt (Zustand) , als auch als
- Pfeil (Veränderung) + Pfeil (Veränderung) ergibt Gesamtpfeil (Gesamtveränderung) .
M3.III.7b AB Vektoraddition geometrisch
werden die SuS an die beiden Deutungen Zustand+Änderung=Zustand sowie Änderung+Änderung=Gesamtänderung der Addition von Zahlen an der Zahlengeraden erinnert, um dann diese Deutung auf Vektoren als Zahlentupel und das ebene Koordinatensystem zu übertragen.
In Aufgabe 1 sind im Applet
M3.III.7b App Vektoraddition 2D
des digitalen Arbeitsblatts M3.III.7b AB Vektoraddition geometrisch beide geometrischen Deutungen im ebenen Koordinatensystem dargestellt und die SuS sind aufgefordert die Darstellungen zu interpretieren.
In Aufgabe 2 übertragen die SuS auch diese beiden Deutungen in GeoGebra-3D ins Dreidimensionale.
rgb-Farbvektor im Farbwürfel
Die Dualität des Vektors als Pfeil und Punkt wird bei der Darstellung im Kontext der rgb-Farbcodierung in
M3.III.7c AB rgb-Farbvektoren geometrisch
an den Verständnisanker zum Vektorbegriff rgb-Farbvektor angebunden und dadurch gefestigt.
Alle codierbaren Farben (0..255 pro Farbwert) lassen sich geometrisch in einem Farbwürfel darstellen. Einzelne Farben sind sowohl als Punkt in diesem Würfel darstellbar, als auch als Pfeil.
Jede Farbe wird dabei als Linearkombination von rot-, grün- und blau-Vektor (Mischen aus den Grundfarben) aufgefasst und geometrisch als Pfeiladdition (Hintereinanderschalten) dargestellt.
Optional sollen SuS in Aufgabe 3 eigenständig Kritikpunkte an dem Modell der rgb-Farbvektoren herausarbeiten. Insbesondere die räumliche Beschränkung, die eine beliebige Platzierung der Vektorpfeile verhindert, sollte bewusst angemerkt werden. Die Einschränkung des rgb-Farbvektors als Modell für Vektoren bietet hier eine explizite Lerngelegenheit, in der die Eigenschaften von Vektoren und deren geometrischen Deutungen bewusst gemacht werden können.
M3.III.7c AB rgb-Farbvektoren geometrisch
an den Verständnisanker zum Vektorbegriff rgb-Farbvektor angebunden und dadurch gefestigt.
Alle codierbaren Farben (0..255 pro Farbwert) lassen sich geometrisch in einem Farbwürfel darstellen. Einzelne Farben sind sowohl als Punkt in diesem Würfel darstellbar, als auch als Pfeil.
Jede Farbe wird dabei als Linearkombination von rot-, grün- und blau-Vektor (Mischen aus den Grundfarben) aufgefasst und geometrisch als Pfeiladdition (Hintereinanderschalten) dargestellt.
Optional sollen SuS in Aufgabe 3 eigenständig Kritikpunkte an dem Modell der rgb-Farbvektoren herausarbeiten. Insbesondere die räumliche Beschränkung, die eine beliebige Platzierung der Vektorpfeile verhindert, sollte bewusst angemerkt werden. Die Einschränkung des rgb-Farbvektors als Modell für Vektoren bietet hier eine explizite Lerngelegenheit, in der die Eigenschaften von Vektoren und deren geometrischen Deutungen bewusst gemacht werden können. Orientierung im Raum
Die SuS sollten in dieser Phase begleitend die Orientierung im dreidimensionalen Koordinatensystem üben.
Dazu bieten sich mit geringer Anpassung (bzw. Anmerkungen zur unterschiedlichen Auffassung von Punkten) Übungen aus dem Schulbuch oder das Kapitel 3D-Koordinatensysteme des digitalen Schulbuchs o-mathe an.
An die geometrische Deutung von Vektoren als Pfeile und Punkte mit der Orientierung im Raum schließt sich dann eine Übungsphase an, in der umgekehrt geometrische Probleme analytisch mithilfe von Vektoren beschrieben werden.
Da mit dem Vektorbegriff als n-Tupel sowohl Punkte als auch Pfeile analytisch als Vektoren beschrieben werden, vereinfachen sich diese Problemstellungen deutlich.
Vektor als n-Tupel und Schulbücher
In den gängigen Schulbüchern findet sich (übrigens mit dem Argument, dass es eben so verbreitet ist) die Definition eines Vektors als Pfeilklasse, zusammen mit dem für das Verständnis und mathematisch problematischen Konstrukt des Ortsvektors (ortsfester Pfeil vom Ursprung zu einem Punkt).
Rein mathematisch ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums , also einer algebraischen Struktur, die bestimmten Axiomen genügt. (Menge über einem Körper , mit innerer Verknüpfung Vektoraddition - kommutativ, assoziativ, mit Einselement und neutralem Element - und äußerer Verknüpfung Skalamultiplikation - assoziativ, mit Einselement - zusammen distributiv.)
Sie können dennoch Ihr Schulbuch für Übungen nutzen.
Besprechen Sie mit Ihren SuS die Unterschiede zwischen beiden Auffassungen und machen Sie deutlich, dass in den Büchern durch Ortsvektoren ein unnötiger Umweg beschritten wird.
*Basiswechsel geometrisch (optional)
Als Teil der Algebraisierung des Anschauungsraums sollte auch die Wahl der Lage des Koordinatensystems thematisiert werden. Dies wird bei der Untersuchung des Rhombendodekaeders im Vertiefungsbereich *M3.V.17 A2 L Objektstudien genutzt und vertieft.
An dieser Stelle bietet es sich an eine alternative Lage des Koordinatensystems für Farbvektoren über die Komplementärfarben cyan, magenta und yellow, die bereits im digitalen Arbeitsblatt *M3.I.2c AB Grundfarben des rgb-Modells als alternative Grundfarben erarbeitet wurden, zu verdeutlichen. Dazu bietet das digitale Arbeitsblatt
*M3.III.7d AB Alternatives Farbmodell
Aufgaben zur Identifizierung der Komplementärfarben und der Umrechnung.
*M3.III.7d AB Alternatives Farbmodell
Aufgaben zur Identifizierung der Komplementärfarben und der Umrechnung.
Zeitbedarf
2-3h + Zeit zum Übung
Übungen
Kapitel 3D-Koordinatensysteme und mit Einschränkungen Kapitel Rechnen mit Vektoren sowie
Kapitel Betrag eines Vektors im digitalen Schulbuch o-mathe
Lambacher Schweizer 2012, S. 44-46
Elemente der Mathematik 2017 LK, S. 48-51
Anm.: Die Schulbücher o-mathe, Elemente der Mathematik, Lambacher Schweizer und Fundamente der Mathematik nutzen in der analytischen Geometrie leider das Pfeilklassenmodell für Vektoren mit all seinen Problemen sowie vermeidbar komplexen Berechnungen und Veranschaulichungen (z.B. Ortsvektor). Nachdem diese Unterschiede mit den SuS besprochen wurden, können Übungen aus den Schulbüchern verwendet werden.