*M3.V.16a A2 AB Schwerpunkt eines Dreiecks
Satz zum Schwerpunkt in einem Dreieck
Aufgabe 1: Satz vektoriell formulieren
Formulieren Sie den zweiten Teil der Aussage des Schwerpunktsatzes aus der Sekundarstufe I mithilfe von Vektoren so, dass in der Gleichung nur die Eckpunkte , und vorkommen. Das folgende Applet soll eine Hilfestellung leisten.
*M3.V.16a A2 App Schwerpunkt eines Dreiecks
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Aufgabe 2: Beweis des Satzes
Beweisen Sie nun beide Teile des Schwerpunktsatzes: a) Alle Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt . b) Dieser Punkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1, also . Hier die dazu notwendigen Schritte (Das Applet oben kann Ihnen dabei helfen): 1. Geben Sie Geradengleichungen für die zwei Geraden und an, auf denen die beiden Seitenhalbierenden durch und (Gerade ) und durch und (Gerade ) liegen. 2. Drücken Sie beide Geradengleichungen nur durch , und aus. (Sie dürfen hier nicht den zweiten Teil des Schwerpunktssatzes benutzen, aber Sie wissen etwas über .) 3. Der gesuchte Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Das führt auf eine Gleichung, die nach Umformen nur noch von den beiden Vektoren und abhängt. 4. Diese Gleichung ist nur für den einfachen Fall erfüllt (s. Applet oben). 5. Daraus ergeben sich zwei Gleichungen mit den Parametern (Parameter der Geradengleichung zu ) und (Parameter der Geradengleichung zu ). 6. Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert .