Funções e Equações Diferenciais Ordinárias Aplicadas a Relação entre Corrente e Tensão em um Indutor Elétrico
Objetivo
Este material busca relacionar conceitos de indução eletromagnética com equações diferenciais aplicadas a circuitos RL.
Indução eletromagnética
De acordo com Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.261) um ímã é cercado por um campo magnético, que pode ser visualizado como linhas de força. A força eletromotriz (fem) é gerada quando um fluxo magnético passa por uma bobina ou condutor, fenômeno conhecido como indução eletromagnética. Michael Faraday e Joseph Henry descobriram que a variação do fluxo magnético em um condutor induz uma tensão nos terminais, levando à formulação da lei de Faraday.
A Lei de Faraday afirma que a tensão induzida em um circuito é proporcional à taxa de variação de fluxo magnético através do circuito, sendo:
, sendo:
: a tensão induzida em função do tempo em volts (V);
N: o número de espiras na bobina
: a taxa de variação do campo magnético em webers por segundo (Wb/s).
FIG.12: Fluxo produzido externamente através de uma bobina de N espiras.
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,261)
Faça você mesmo esse experimento com o simulador do Fluxo de Campo Magnético disponível pela Universidade do Colorado. Inicialmente com o ponteiro do mouse puxe a alavanca azul da torneira para a direita, altere a quantidade de espiras e identifique a variação na tensão induzida pelo fluxo do campo magnético e comportamento da lâmpada.
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,261)
Faça você mesmo esse experimento com o simulador do Fluxo de Campo Magnético disponível pela Universidade do Colorado. Inicialmente com o ponteiro do mouse puxe a alavanca azul da torneira para a direita, altere a quantidade de espiras e identifique a variação na tensão induzida pelo fluxo do campo magnético e comportamento da lâmpada.De acordo com a FIG.12, uma fem é induzida na bobina somente quando o fluxo magnético através da bobina varia, ou seja, isto é, , caso contrário, e a .
A polaridade da força eletromotriz (fem) induzida e o sentido do fluxo da corrente são determinados pela Lei de Lenz, que afirma que a corrente induzida cria um fluxo que se opõe à mudança que a produziu. A Lei de Faraday é usada para determinar a magnitude da tensão induzida, enquanto a Lei de Lenz é utilizada para determinar a polaridade. (Sadiku, Musa, Alexander,2014,p.262)
Procurando entender o que seria a Indução Eletromagnética e a Lei de Faraday sugerimos o vídeo abaixo do canal de Física "Como é bom ser nerd" que trata muito bem dessa temática. No mesmo canal também sugerimos o vídeo que trata da Lei de Lenz .
Simulação da Lei de Faraday no GeoGebra
No GeoGebra vamos analisar o gráfico da função que representa a Lei de Faraday, mas antes disso precisamos entender a função que representa o fluxo de um campo magnético, conforme apresentado no vídeo anterior, que corresponde a , sendo a área da espira em e a intensidade do campo magnético em (tesla) e o ângulo em radianos da posição da espira em relação ao campo magnético.
Faça alterações nos valores de A e B e analise o comportamento gráfico da função periódica, nesse caso uma cossenóide.
De acordo com o comportamento gráfico da função aplicada ao fluxo de um campo magnético podemos afirmar que:
EDO e Função Aplicada a Lei de Faraday
No GeoGebra faça alterações nos valores reais de A, B e N para analisar o comportamento gráfico da função que representa a Lei de Faraday. Movimente o ponto sobre o gráfico para uma interpretação pontual dos valores de t e .
Indutores Elétricos
Sobre Indutor Elétrico Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.262) afirma que é um componente passivo que armazena energia na forma de um campo magnético. Eles são amplamente utilizados em eletrônica e sistemas de potência, como em fontes de energia, transformadores, rádios, TVs, radares e motores elétricos. Qualquer condutor de corrente elétrica tem propriedades indutivas, mas um indutor real é geralmente uma bobina cilíndrica com muitas espiras de fio condutor.
Qualquer condutor de corrente elétrica tem propriedades indutivas e pode ser considerado um indutor. Para aumentar o efeito indutivo, um indutor real é geralmente construído como uma bobina cilíndrica com muitas espiras de fio condutor, ou seja, um indutor consiste em uma bobina de condutor de fio em volta de algum núcleo que pode ser o ar ou algum material magnético. (Sadiku, Musa, Alexander,2014,p.262)
FIG.13: Forma típica de um indutor
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.262)
De acordo com Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.262) quando uma corrente circula através de um indutor, verifica-se que a tensão sobre o indutor é diretamente proporcional à taxa de variação da corrente.
Sendo a função tensão no indutor em função do tempo t, L a constante de proporcionalidade também chamada de indutância do indutor e a taxa de variação instantânea da corrente no indutor. A unidade para indutância é o henry (H) em homenagem ao inventor americano Joseph Henry (1797 – 1878).
A indutância L é uma medida da capacidade de um indutor para apresentar oposição à variação de corrente através dele, medida em henrys (H), ou seja, a corrente não pode variar abruptamente (a tensão tenderia a infinito; o que de fato não ocorre).
Para a interpretação gráfica da função precisamos conhecer a função que será obtida pela solução de uma EDO modelada para um circuito RL (Resistor e Indutor).
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.262)
De acordo com Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.262) quando uma corrente circula através de um indutor, verifica-se que a tensão sobre o indutor é diretamente proporcional à taxa de variação da corrente.
Sendo a função tensão no indutor em função do tempo t, L a constante de proporcionalidade também chamada de indutância do indutor e a taxa de variação instantânea da corrente no indutor. A unidade para indutância é o henry (H) em homenagem ao inventor americano Joseph Henry (1797 – 1878).
A indutância L é uma medida da capacidade de um indutor para apresentar oposição à variação de corrente através dele, medida em henrys (H), ou seja, a corrente não pode variar abruptamente (a tensão tenderia a infinito; o que de fato não ocorre).
Para a interpretação gráfica da função precisamos conhecer a função que será obtida pela solução de uma EDO modelada para um circuito RL (Resistor e Indutor).Circuito RL
Segundo Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.269) um circuito RL contém apenas resistores e indutores, geralmente conectados em série. O objetivo é determinar a resposta do circuito, que é a corrente (i(t)) através do indutor. A corrente do indutor é escolhida como resposta para destacar que ela não pode mudar instantaneamente. Em t = 0, assume-se que o indutor tem uma corrente inicial .
Assim como realizamos nos cálculos do capacitor vamos iniciar com um circuito RL sem uma fonte de tensão (bateria), conforme FIG.14:
FIG.14:Circuito RL sem fonte de tensão
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.269)
Aplicando a LKT: uma EDO linear de primeira ordem homogênea.
Dessa forma, vamos em busca de uma função desconhecida , em que a sua taxa de variação em função do tempo t é proporcional a sua corrente elétrica . Uma das funções que tem essa propriedade é a função exponencial.
Seja uma função exponencial com a corrente elétrica no instante t=0, ou seja, .
Assim, identificamos que de fato é solução da EDO homogênea.
Outra método para se chegar a essa solução, entre diversos, trata-se do método dos coeficientes indeterminados:
, por se tratar de uma EDO homogênea
Considere uma equação auxiliar para encontrar a solução da EDO homogênea , sendo:
, sendo e
Essa solução depende das condições iniciais no instante t=0.
Vamos identificar a representação gráfica desse tipo de EDO modelada para um circuito RL sem fonte de tensão no GeoGebra e analisar o seu comportamento gráfico da Função Corrente Elétrica de um Indutor em um Circuito RL em série no processo de fornecer energia.
Como exemplo, vamos considerar inicialmente os seguintes valores para R,L e :
, e
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.269)
Aplicando a LKT: uma EDO linear de primeira ordem homogênea.
Dessa forma, vamos em busca de uma função desconhecida , em que a sua taxa de variação em função do tempo t é proporcional a sua corrente elétrica . Uma das funções que tem essa propriedade é a função exponencial.
Seja uma função exponencial com a corrente elétrica no instante t=0, ou seja, .
Assim, identificamos que de fato é solução da EDO homogênea.
Outra método para se chegar a essa solução, entre diversos, trata-se do método dos coeficientes indeterminados:
, por se tratar de uma EDO homogênea
Considere uma equação auxiliar para encontrar a solução da EDO homogênea , sendo:
, sendo e
Essa solução depende das condições iniciais no instante t=0.
Vamos identificar a representação gráfica desse tipo de EDO modelada para um circuito RL sem fonte de tensão no GeoGebra e analisar o seu comportamento gráfico da Função Corrente Elétrica de um Indutor em um Circuito RL em série no processo de fornecer energia.
Como exemplo, vamos considerar inicialmente os seguintes valores para R,L e :
, e Circuito RL sem Fonte de Tensão
No GeoGebra faça alterações nos valores reais de , R, C para analisar o comportamento gráfico da função que representa a Corrente Elétrica de um Indutor em um Circuito RL em série no processo de fornecer energia. Movimente o ponto sobre o gráfico para uma interpretação pontual dos valores de t e .
Funções Tensão no Indutor e no Resistor de um Circuito RL em série sem fonte
Como , sabemos que
Dessa forma, como
No GeoGebra vamos analisar o comportamento gráfico das funções que envolvem tensão no indutor e no resistor de um circuito RL em série sem fonte.
No GeoGebra faça alterações nos valores reais de , R, C para analisar o comportamento gráfico das funções que representa a Tensão no Indutor e no Resistor em um Circuito RL em série. Clique no botão iniciar e observe o movimente dos pontos sobre os gráficos para uma interpretação pontual dos valores de t e e .
EDO e Funções aplicadas a Tensão e a Corrente Elétrica no Indutor em um Circuito RL em série com fonte constante
Sejam a tensão na fonte (bateria), a tensão no resistor e a tensão no indutor em circuito RL em série e no instante inicial temos , isto é, em um circuito RL com fonte de tensão constante no momento inicial não há circulação de corrente, nesse momento o indutor se comporta como um circuito aberto.
Aplicando a LKT: uma EDO linear de primeira ordem.
Dessa forma, vamos em busca de uma função desconhecida solução geral da EDO não homogênea, sendo a solução da EDO homogênea e a solução particular.
Já sabemos via cálculo anterior que é solução da EDO homogênea.
Dessa forma vamos em busca de uma solução particular. Como é uma constante, pelo método dos coeficientes indeterminados, queremos uma função solução particular do tipo :
Logo, a solução geral da EDO não homogênea corresponde a:
.
De acordo com o P.V.I (Problema de Valor Inicial):
Portanto a solução geral com P.V.I. será:
Como
No GeoGebra faça alterações nos valores reais de , R, C para analisar o comportamento gráfico da função que representa a Corrente Elétrica de um Indutor em um Circuito RL em série no processo de armazenamento de energia. Movimente o ponto P sobre o gráfico para uma interpretação pontual dos valores de t e .
Tensão no Indutor e no Resistor em um Ciruito RL em ´série com Fonte constante
Já sabemos que e .
Portanto
Pela Lei LKT:
Dessa forma, concluímos que e
Vamos analisar a interpretação gráfica dessas funções no GeoGebra.
No GeoGebra faça alterações nos valores reais de , R, C para analisar o comportamento gráfico da função que representa as Funções Tensões no Indutor e no Resistor em um Circuito RL em série com fonte no processo de fornecimento de energia (chave aberta) . Marque as funções do indutor e do indutor e movimente os pontos A e B sobre o gráfico, clicando nos botões iniciar, parar e continuar, para uma interpretação pontual e global das funções aplicadas a esse tipo de circuito elétrico com domínio no tempo t com . Analise também a constante de tempo e como foram definidas as funções tensão no indutor e no resistor presentes na janela 2.
Mais detalhes no vídeo a seguir:
A seguir estudaremos as EDO lineares de segunda ordem modeladas por circuitos RLC em série com ou sem fonte (cc).
Referências:
SADIKU, Matthew N. O; ALEXANDER, Charles K.; MUSA, Sarhan. Análise de circuitos elétricos com aplicações. AMGH Editora, 2014.
Indutor Elétrico
Segundo Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.261) um indutor é um componente elétrico que armazena energia em um campo magnético, geralmente na forma de uma bobina de fio. Ele é amplamente utilizado em circuitos analógicos, especialmente em aplicações de alta frequência, embora seja menos comum que os capacitores. Indutores são raramente usados em circuitos integrados devido à dificuldade de fabricação nos chips.
No GeoGebra vamos analisar o gráfico da função que representa a Lei de Faraday, mas antes disso precisamos entender a função que representa o fluxo de um campo magnético, conforme apresentado no vídeo anterior, que corresponde a , sendo a área da espira em e a intensidade do campo magnético em (tesla) e o ângulo em radianos da posição da espira em relação ao campo magnético.
Faça alterações nos valores de A e B e analise o comportamento gráfico da função periódica, nesse caso uma cossenóide.
No GeoGebra vamos analisar o gráfico da função que representa a Lei de Faraday, mas antes disso precisamos entender a função que representa o fluxo de um campo magnético, conforme apresentado no vídeo anterior, que corresponde a , sendo a área da espira em e a intensidade do campo magnético em (tesla) e o ângulo em radianos da posição da espira em relação ao campo magnético.
Faça alterações nos valores de A e B e analise o comportamento gráfico da função periódica, nesse caso uma cossenóide.
No GeoGebra vamos analisar o gráfico da função que representa a Lei de Faraday, mas antes disso precisamos entender a função que representa o fluxo de um campo magnético, conforme apresentado no vídeo anterior, que corresponde a , sendo a área da espira em e a intensidade do campo magnético em (tesla) e o ângulo em radianos da posição da espira em relação ao campo magnético.
Faça alterações nos valores de A e B e analise o comportamento gráfico da função periódica, nesse caso uma cossenóide.
Artigo:
Silva, C. R., & Boscarioli, C. (2026). Livro digital interdisciplinar com GeoGebra: aplicações de equações diferenciais a circuitos elétricos em corrente contínua. Revista Do Instituto GeoGebra Internacional De São Paulo, 15(1), 007–035. https://doi.org/10.23925/2237-9657.2026.v15i1p007-035