Ganzrationale Funktionen - Funktionsanalyse Teil 1
Inhalt
0. Was ist eine ganzrationale Funktion?
1. Untersuchung des Grenzwertverhaltens
Teste dich! - Teil 1
Teste dich! - Teil 2
2. Untersuchung auf Elementarsymmetrie
Teste dich! - Teil 3
3. Schnittpunkt mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt)
4. Schnittpunkt(e) mit der x-Achse (Nullstellen)
Teste dich! - Teil 4
Teste dich! - Teil 5
Teste dich! - Teil 6
Teste dich! - Teil 7
0. Was ist eine ganzrationale Funktion?
Eine ganzrationale Funktion (auch Polynom genannt) ist eine Funktion der Form
.
Dabei ist eine natürliche Zahl () und wird als Grad der Funktion bezeichnet. Die Vorfaktoren mit nennt man auch Koeffizienten.
Beispiele für ganzrationale Funktionen:
- : Konstante Funktion:
- : Lineare Funktion:
- : Quadratische Funktion:
- : Kubische Funktion:
- : Funktion vom Grad 4:
1. Untersuchung des Grenzwertverhaltens
| | Grad gerade () | Grad ungerade () |
| Koeffizient positiv | Beispiel: | Beispiel: |
| Koeffizient negativ | Beispiel: | Beispiel: |
Teste dich! - Teil 1
Bestimmen Sie das Grenzwertverhalten für die Funktion .
Teste dich! - Teil 2
Bestimmen Sie das Grenzwertverhalten für die Funktion .
2. Untersuchung auf Elementarsymmetrie
Für alle Funktionen gilt:
- Eine Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt.
- Eine Funktion ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt.
- Eine ganzrationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn die Funktionsgleichung nur -Potenzen mit geraden Exponenten enthält.
- Eine ganzrationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die Funktionsgleichung nur -Potenzen mit ungeraden Exponenten enthält.
Teste dich! - Teil 3
Untersuchen Sie die Funktionen , und auf Elementarsymmetrie.
3. Schnittpunkt mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt)
Der Schnittpunkt mit der -Achse ergibt sich durch Ausrechnen des Wertes . Für jede ganzrationale Funktion gilt . Der Schnittpunkt mit der -Achse ist dann .
Beispiel:
Der Schnittpunkt der Funktion mit der -Achse beträgt .
4. Schnittpunkt(e) mit der x-Achse (Nullstellen)
Jede ganzrationale Funktion hat maximal so viele reelle Nullstellen wie ihr Grad angibt (Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra). Ist der Grad ungerade, so hat die Funktion mindestens eine reelle Nullstelle (Folgerung aus dem Grenzwertverhalten). Die Nullstellen berechnen sich über den Ansatz .
Es gibt mehrere Methoden, um Nullstellen zu berechnen: Bei quadratischen Gleichungen entweder umformen oder p-q-Formel, bei ganzrationalen Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten der -Potenzen bietet sich die Substitution an, anschließend --Formel. Ist die ganzrationale Funktion in einer Produktdarstellung gegeben, können die einzelnen Faktoren gleich Null gesetzt werden.
Beispiele:
- --Formel Ansatz: --Formel: mit und .
- Substitution Ansatz: Substitution: Wähle . Dann weiter mit --Formel: mit und . Rücksubstitution:
- Faktorenbetrachtung ("Ablesen") Faktor 1: Faktor 2: Faktor 3:
Teste dich! - Teil 4
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktion mit den Koordinatenachsen.
Teste dich! - Teil 5
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktion mit den Koordinatenachsen.
Teste dich! - Teil 6
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktion mit den Koordinatenachsen.
Teste dich! - Teil 7
Stellen Sie eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades auf, welche die Nullstellen , und hat. Die Funktion soll für gegen laufen.