Ver las raíces complejas
- Autor:
- Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Variable compleja.
El teorema fundamental del álgebra, además de importante, es uno de los más bellos, por su simpleza. Dice que todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz. De este resultado se puede deducir fácilmente que todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces.
Ahora bien, el teorema se refiere a funciones polinómicas en los que el cuerpo numérico no es sino , es decir, polinomios con coeficientes y raíces complejas. Esto es un inconveniente a la hora de representar esas n raíces, ya que necesitaríamos un espacio de cuatro dimensiones. Pero podemos usar un truco: restringir la función compleja, quedándonos solo con el dominio cuyas imágenes sean reales. Así, en vez de una función , tendremos una función, cuya gráfica ya se puede representar en 3D, usando el eje Z como eje imaginario ().
Por ejemplo, sea y = f(x) = x2 - 2x + 2. En variable compleja se convierte en: y = f(x + z i) = (x + z i)2 -2(x + z i) + 2, cuya parte imaginaria es 2z(x -1). Si igualamos esta parte a cero, nos aseguramos que la imagen de f sea real. En este ejemplo, eso solo pasa cuando z vale 0 o cuando x vale 1.
En el primer caso, z=0, obtenemos la función de variable real cuya gráfica ya conocemos (en color azul sobre el plano gris XY). En el segundo, x=1, basta sustituir este valor en la expresión de f para obtener la curva (1, 1-z2, z), con (en color rojo).
Las raíces complejas (puntos amarillos en la Vista 3D) son las intersecciones de esas dos curvas con el plano azul XZ (los puntos con y = f(x + z i) = 0). Lo que hace el comando RaízC de GeoGebra es trasladar esos puntos desde el plano complejo XZ al plano real XY (puntos amarillos en la Vista 2D).
También podemos seguir el mismo procedimiento para crear la superficie que representa a los números complejos x + z i tales que su parte imaginaria esté en un intervalo real (en la construcción, ese intervalo va de -5 a 5, es decir, y = f(x + z i) = a + b i , ).
Nota: Observa que, en general, la curva roja no es una curva plana, al contrario de lo que ocurre con la curva azul. El método que hemos seguido para visualizar las raíces complejas se pueda aplicar también a otras funciones (polinómicas o no), mientras sea posible calcular la expresión que anula la parte imaginaria de la imagen de la función (es decir, el método queda supeditado al cálculo de raíces reales). A veces, esta expresión tiene doble signo debido a la aparición de raíces cuadradas.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.