Rectas y puntos notables del triángulo

Contenido - Alturas y ortocentro - Mediatrices y circuncentro - Medianas y baricentro - Bisectrices e incentro - Recta de Euler Rectas y puntos notables del triángulo Las rectas notables del triángulo son altura, mediatriz, mediana y bisectriz. Para cada una de las rectas notables se dispone de un applet y un applet adicional que permite analizar en un mismo triángulo, dos o más de las rectas y puntos notables y lo que sucede con el triángulo isósceles y con el triángulo equilátero. Alturas de un triángulo Altura de un triángulo es el segmento de recta perpendicular, trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.
La altura sobre el lado a es el segmento AE La altura sobre el lado b es el segmento BF La altura sobre el lado c es el segmento CD Se puede observar que dependiendo de la clase triángulo, la altura sobre un lado puede ser interior al triángulo, puede ser exterior al triángulo o puede coincidir con uno de los lados. Cuando es exterior, la altura va desde el vértice hasta la prolongación del lado opuesto. Las tres alturas de todo triángulo siempre se intersecan en un punto llamado ortocentro (punto O). El nombre deriva del término griego orto = recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas. La ubicación relativa del ortocentro con relación al triángulo depende del tipo de triángulo según sus ángulos: - Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro se ubica dentro del triángulo. Las tres alturas son interiores. - Si el triángulo es obtusángulo, el ortocentro se ubica por fuera del triángulo. En este caso es necesario prolongar las tres alturas. - Si el triángulo es rectángulo, el ortocentro se ubica en el vértice del ángulo recto. En este caso, dos alturas coinciden con los catetos (los lados que forman el ángulo recto). Mediatrices de un triángulo Mediatriz de un triángulo es la perpendicular trazada por el punto medio de cada lado del triángulo.
Los puntos H, I, J son los puntos medios de los lados b, a y c, respectivamente. La mediatriz del lado a es el segmento IL; la del lado b es HK y la del lado c es JM. Las tres mediatrices de todo triángulo se intersecan en un punto llamado Circuncentro (punto Cc). Este punto Cc es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, que pasa por los tres vértices. Los segmentos ACc, BCc y CCc son radios de la circunferencia circunscrita. La ubicación relativa del circuncentro depende del tipo de triángulo según sus ángulos: - Si el triángulo es acutángulo, el circuncentro es interior al triángulo. - Si el triángulo es obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo y se obtiene por la prolongación de las mediatrices. - Si el triángulo es rectángulo, el circuncentro se ubica en el punto medio de la hipotenusa. El radio de la circunferencia circunscrita equivale a la mitad de la medida de la hipotenusa. La propiedad de que el circuncentro de un triángulo rectángulo se ubica en el punto medio de la hipotenusa permite dibujar un triángulo rectángulo a partir de la hipotenusa. Este proceso es una de las construcciones de la sección siguiente. Medianas de un triángulo Mediana de un triángulo es el segmento de recta que une el punto medio de cada lado con el vértice opuesto
Los puntos F, D y E son los puntos medios de los lados a, b y c respectivamente. La mediana sobre el lado a es el segmento AF; la del lado b es BD y la del lado c es CE. Las tres medianas de todo triángulo se intersecan en un punto llamado Baricentro (punto G) y siempre es interior al triángulo. El baricentro también se llama centroide o centro de gravedad del triángulo. Otras características de las medianas: - Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área dado tienen igual base (la mediana) y las alturas son congruentes: Con la mediana AF se obtienen los triángulos AFC y AFB. Con la mediana BD se obtienen los triángulos BDA y BDC. Con la mediana CE se obtienen los triángulos CEA y CEB. - El baricentro divide cada mediana en dos segmentos con una relación 2:1, es decir, la longitud de un segmento es el doble de la longitud del otro: AG y GF; BG y GD; CG y GE. Bisectrices de un triángulo  Bisectriz de un ángulo interior de un triángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
Las tres bisectrices de todo triángulo se intersecan en un punto llamado Incetro (punto Ic). Este punto Ic es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, es decir, la circunferencia más grande contenida en el triángulo y que es tangente a cada uno de los lados. El radio de la circunferencia inscrita es cada uno de los segmentos entre el incentro Ic y los puntos de tangencia. El incentro, al igual que el baricentro, siempre es interior al triángulo. Casos especiales: Rectas y puntos notables en triángulos isósceles y el triángulos equiláteros En todo triángulo se pueden trazar 12 rectas notables: 3 alturas, 3 mediatrices, 3 medianas y 3 bisectrices y por lo tanto, se obtienen 4 puntos notables. En el triángulo del applet que sigue se pueden mostrar todas o algunas de las rectas y puntos.
Se pueden obtener tres conclusiones de este análisis: - En los triángulos isósceles, la altura sobre el lado no congruente coincide con la mediatriz, con la mediana y con la bisectriz. - En los triángulos equiláteros, cada recta notable cumple la función de ser altura, mediatriz, mediana y bisectriz. Además de esto, los cuatro puntos de intersección de ellas, coinciden en uno solo, siendo a la vez ortocentro, circuncentro, baricentro e incentro. - En todo triángulo que no sea equilátero, los puntos ortocentro (de alturas), circuncentro (de mediatrices) y baricentro (de medianas) están situados sobre una recta llamada recta de EULER en honor de Leonhard Euler, matemático y físico suizo (1707 – 1783), quien demostró esta propiedad en 1765. Si el triángulo es isósceles el incentro (de bisectrices) también queda alineado en la recta de Euler.