d)
Adott a síkban két pont (A,B) és egy (e) egyenes. Adjuk meg az ABC háromszögek
d) koré írt körei középpontjainak
mértani helyét, ha a C végigfut az e egyenesen!
A háromszög köré írt körének középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Ebből következően a keresett mértani hely az AB szakaszfelező merőlegesének része. Hogy milyen része? Ez vizsgálható meg az alábbi GeoGebra fájllal
Úgy tűnik, hogy
- ha e párhuzamos az AB-vel, akkor a mértani hely egy félegyenes;
- ha az e az AB szakaszon kívül metszi az AB egyenest, akkor a mértani hely két félegyenes;
- egyébként egyenes.
Ha e párhuzamos AB-vel,
Ekkor a köré írt kör középpontjának második koordinátája a C első koordinátájának másodfokú függvénye, aminek értékkészlete a vagy intervallum, így a keresett mértani hely egy félegyenes.
Ha e nem párhuzamos AB-vel,
A következő GeoGebra fájl alkalmas arra, hogy a fent kapott függvényt vizsgáljuk,
Ha a helyi szélsőérték helyeket keressük, akkor deriválni kell szerint a függvényt.
Helyi szélsőérték csak akkor létezik, ha a négyzetgyök jel alatti kifejezés nemnegatív.
Innen azt kaptuk, két különböző lehetséges lokális szélsőérték akkor lehet, ha , azaz . (Az e az AB szakaszon kívül metszi az AB egyenest.) Ez esetben a lehetséges szélsőértékhelyeket a második deriváltba helyettesítve a kapott értékek szorzata:
Ez negatív, így az egyik helyi szélsőérték minimum, a másik maximum.