Sección 1.9 - Triángulo Pedal

Teorema

Si el punto pedal está a distancia x, y, z, de los vértices de

, el triángulo pedal tiene lados

. Demostración: Observemos la siguiente figura

Antes de comenzar la demostración, hagamos algunas observaciones y definiciones. Sea P un punto cualquiera dentro de

y consideremos las perpendiculares

en los lados

. Estas perpendiculares son los lados de

, al cual lo llamamos el triángulo pedal de

para el punto pedal

. P debe ser un punto dentro del triángulo, pero de no serlo, no puede estar en la circunferencia del circuncírculo de

. Ahora, demostremos el teorema. Los ángulos rectos en

nos indican que estos puntos yacen en el círculo con diámetro AP; en otras palabras, P yace en el circuncírculo de

. Aplicando la Ley de Senos a este triángulo y a

obtenemos:

entonces,

El tercer triángulo pedal es semejante al triángulo original. Demostración: Observemos la siguiente figura

Al unir P con A, notamos que como P yace en el circuncírculo de todos los triángulos

tenemos:

Las dos partes en la que AP divide a

tienen cosas iguales

y de nuevo en

y finalmente en

. Similarmente, tienen ángulos iguales en