Die erste Ableitungsfunktion - Steigungen

Autor:: Klaus Schoepe

Nach oben oder nach unten?

Unten ist eine Animation, in der ein Funktionsgraph

und ein Punkt mit einer Tangente eingefügt ist. Der Punkt lässt sich über den Schieberegler am unteren Ende der Animation bewegen. Außerdem kann man sich den Funktionsgraphen der Ableitungsfunktion

anzeigen lassen. Die Tangentensteigungen und die Ableitungsfunktion

sind phantastische Werkzeuge, um Eigenschaften der Funktion

zu analysieren:

Steigend oder fallend?

Wie kann man an der Ableitungsfunktion erkennen, wo der Funktionsgraph von steigt und wo erfällt?

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A
Wo steigt, da steigt auch .
B
Wo steigt, da hat positive Funktionswerte, d.h. der Funktionsgraph von liegt oberhalb der Abszisse.
C
Wo fällt, hat Nullstellen.
D
Wo fällt, da hat negative Funktionswerte, d.h. der Funktionsgraph von verläuft unterhalb der Abszisse.
E
Wo fällt, da fällt auch

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Extrempunkte

Ein Extrempunkt (auch Extremum genannt. Die Mehrzahl heißt "Extrema") ist ein Hoch- oder ein Tiefpunkt. Im übertragenden Sinne also ein "Berggipfel" oder eine "Talsohle". Einen Hochpunkt nennt man auch "Maximum" (die Mehrzahl heißt "Maxima") und einen Tiefpunkt "Minimum" (die Mehrzahl heißt "Minima"). Der Funktionsgraph der oben stehenden Animation hat einigen Hoch- und Tiefpunkte. Solche Extrempunkte kann man hervorragend an Hand der Tangentensteigung erkennen. Untersuche in der folgenden Animation den Zusammenhang zwischen Extrempunkten und der Tangentensteigung einer Funktion:

Notwendige Bedingung für Extremstellen

Welche Bedingung bezüglich der Tangentensteigung ist bei Extrempunkten IMMER erfüllt?

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Vokabeln zur Analyse von Funktionen

Wenn der Funktionsgraph in einem Intervall nur steigt, dann sagt man dieser Funktionsgraph ist streng monoton steigend. An solchen Stellen ist die Funktionswerte der Ableitungsfunktion immer größer als Null.
Wenn ein Funktionswert in einem Intervall steigt oder an einigen Stellen die Steigung Null hat, dann ist er hier nur monoton steigend.

Wenn der Funktionsgraph in einem Intervall nur fällt, dann sagt man dieser Funktionsgraph ist streng monoton fallend. An solchen Stellen ist die Funktionswerte der Ableitungsfunktion immer kleiner als Null.
Wenn ein Funktionswert in einem Intervall fällt oder an einigen Stellen die Steigung Null hat, dann ist er hier nur monoton fallend.

Üben der Ableitungsregeln

Die obenstehende Funktion ist schon sehr kompliziert. Ihr Funktionsterm lautet: Wie lautet die Funktionsgleichung von ?