Yhdistetyn funktion integraali
- Tekijä:
- P Porras
Varsinainen integrointi tapahtuu integroimiskaavojen avulla. Näillä kaavoilla muodostetaan funktioiden integraalit edellisiä sääntöjä noudattaen. Huomaathan, että ei ole olemassa mitään yleistä sääntöä, jolla funktioiden tulo voitaisiin integroida aina.
Peruskaavat ymmärtää ja oppii käyttämään helposti derivoinnin kautta. Vertaa kyseisiä kaavoja vastaaviin derivoimiskaavoihin niin, että havaitset vastaavuudet. Integroimissääntö 4 eli yhdistetyn funktion integroiminen tuo hieman haastetta integraaleihin. Tarkastellaan kaavaa hieman:
.
Funktio f on varsinainen integroitava funktio ja g on kyseisen funktion sisäfunktio. Kaavan vasemmalla puolella on kertoimena g'(x), jota ei ole missään kaavan oikealla puolella. Yhdistetyn funktion derivaatta on
,
joten vastaava integroimiskaava saadaan lukemalla oikealta vasemmalle.
Alla on esimerkkejä yhdistetyn funktion integroimisesta. Muista, että integraalin saa lisätä vain vakiotermejä; ei siis muuttujaa sisältäviä termejä. Jos vakiotermejä lisätään integraaliin, niin ne on poistettava vastaoperaatiolla. Alla olevissa esimerkeissä integraalimerkin vasemmalla puolella näkyy sinisellä vastaoperaatio ja oikealla tarvittava vakiotermin lisäys.
Esimerkki 1.
Esimerkki 2a.
Esimerkki 2b. Ratkaistaan edellinen tehtävä sijoitusmenetelmällä. Merkitään , jonka derivaatta muuttujan suhteen on
Tällöin,
Esimerkki 3. Integraalia ei pystytä ratkaisemaan yhdistetyn funktion kaavalla, koska sisäfunktion derivaattaa varten tarvitaan muuttujaa x. Muuttujia ei kuitenkaan saa lisätä integraaliin. Tämän kaltaiset tilanteet eivät kuulu tämän kurssin aihepiiriin.