Verhalten für x → ±∞
Merksatz: Für x → ±∞ wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f(x) von dem Summanden mit der höchsten Potenz von x bestimmt.
Dieses wird an folgendem Beispiel deutlich:
Gegeben ist die Funktion . Mit Hilfe des Schiebereglers kann man den x-Wert sehr groß bzw. sehr klein werden lassen.
Welche Aussagen stimmen für die Funktion
Tipp 1
Das Verhalten für unendlich große x-Werte (bzw. kleine bei negativem x) wird also von dem Summanden mit dem größten Exponenten bestimmt. In dem obigen Beispiel muss demnach nur betrachtet werden.
In dem Beispiel sorgt dafür, dass für große x die Funktionswerte von f(x) positiv unendlich werden (eine positive Zahl "hoch 3" ist positiv). Und für kleine x sorgt der Term dafür, dass die Funktionswerte von f(x) negativ unendlich werden (eine negative Zahl "hoch 3" ist negativ).
Betrachten wir abschließend die Funktion .
Die Funktion verhält sich für x → ±∞ wie die Funktion ................. .
Das bedeutet für gilt:
Tipp 2
Das heißt, dass der Graph von f auf der linken und auf der rechten Seite jeweils nach , d.h. nach unten geht. Dies zeigt auch die folgende Abbildung der Funktion.
