線・面・体で積分
１。線積分
このワークシートはMath by Codeの一部です。
熱、気体、電気、磁気、いろんなものが
空中、空間にただよってます。
これからスカラー場、ベクトル場の線、面、体についての積分について、
深めていこう。
＜スカラー場の線積分＞
パラメータｘについての関数ｆ（ｘ）の積分が∫ｆdxでした。
ｘ軸の区間をN等分して微小幅⊿ｘを考える。ｘごとに値は変化するが、
幅⊿ｘが微小なので値ｆ(x)が一定とみなし、合計＝スカラー×スカラー＝ｆ⊿ｘとする。
N個の面積の合計がΣｆ⊿ｘだった。
Nを∞にすると、⊿ｘがdxになり、面積は連続的に合計される。それが∫ｆdx。
これ自体、ｘ軸という線にそって値を対応させているから線積分ともいえる。
ふつうの線積分は次のように定める。
平面上のスカラー値関数ｆ（ｘ、ｙ）とパラメータｔの曲線C：(x(t),y (t))があるとき、
Cのパラメータｔをa以上ｂ以下で動かすと、それに対応してｆも動く。
ｘを動かす代わりに、パラメータｔを動かす。
そうすると、それに対応してｘ、ｙが動く。
そして、それに対応する値ｆが決まる。ｔをaからｂまで等分したスカラー、微小幅⊿ｔに
対応するスカラーｆが決まる。ふつうの積分と同様に、合計＝スカラー×スカラー＝ｆ⊿ｔを考える。
このΣの値が、ｔの等分を∞にして積分にすればいいね。
それが、∫ｆdtだ。曲線Cにそった積分とわかるように
∫Cf(x,y) dtとかく。
計算は∫ab f(x(t),y(t)) dtで実行できるね。
・また、弧長ｓをパラメータにするときは、
∫Cf(x,y) ds
になるけれど、ｘ、ｙがｓとつながらない。
そこで、微小線分⊿ｓ＝sqrt(（⊿ｘ/⊿t)2+（⊿y/⊿t)2))⊿tとパラメータｔで表現できる。
⊿ｓの極限dsはCの接線になるので（接線）線積分がｔを仲介して
∫Cf(x,y)ds=∫ab f(x(t),y(t)) sqrt(（x')2+(y')2) dtで計算できるね。
合計＝スカラー（ｆ）×スカラー（接線の長さ）の総和を求めている。
曲線上の点で引いた接線の長さをｆにかけるところが、接線線積分が線積分とちがうところだ。
次元が3次元でも同様にできるでしょう。
（例）
曲線C=(t, t2/2,t3/6 )(０≦ｔ≦１) に対してスカラー値関数f(x,y,z)=x2yzの線積分を求める。
∫C f dt=∫01x(t)2y(t)z(t) dt=∫01t7/12 dt =1/12[t8/8]01=
∫C f ds=∫01t7/12 sqrt(12+(t)2+(t2/2)2) dt
=1/12∫01t7 (2+t2)/2 dt =1/24∫01(2t7 +t9) dt= 1/24[t8/4+t10/10]01=1/24( 7/20)=
Cに対するスカラー値ｆの線積分
＜ベクトル場の線積分＞
パラメータｔの曲線C=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)) に対してベクトル場ｆ（f,g,h）があるとき、
C上の位置ベクトルs=(x,y,z)に対して、接ベクトルがds=(dx, dy,dz)だから、
方向の成分ごとに対応ベクトル場の成分をかけた合計、つまり、
スカラー合計＝C上のベクトルｆと接ベクトルdsの内積
この総和がベクトル場の線積分になるね。
∫C f・ds=∫C (f dx +g dy +h dz) これがベクトル場の線積分だ。
・パラメータｔで計算すると、
∫C f・ds＝∫C (f dx +g dy +h dz)=∫C fdx+∫C gdy+∫C hdz=∫ab f x' dt+∫ab g y' dt+∫ab h z' dt
=∫ab (f x' + g y' dt+ h z' )dt
=∫ab (f,g,h)・( x' ,y',z' )dt=∫ab f・(ds/dt) dt
∫C f・ds=∫ab f・(ds/dt) dt
・曲線Cの単位接ベクトルをｔは、微小線素ds=|ds| を使えば
ｔ＝ds/ds だから、ds＝t ds
∫C f・ds=∫C f・t ds これがベクトル場の接線線積分だ。
・ スカラー値関数ｆ（P）＝f(x,y,z)の勾配ベクトル∇ｆの接線線積分は、
Cの始点Pから終点Qまで
∫C∇f・ds=∫C（∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)・(dx, dy, dz)
=∫C df= [f ]PQ=F(Q) -F(P)
始点を終点が一致する閉曲線の場合は∫の中央に〇をつける。
∮C∇f・ds=０
（例）
曲線C=(x,y,z)=(acos θ, asinθ , bθ )(０≦θ≦π) に対してベクトル場f(f,g,h)=(y, -z,x) の線積分∫C f・ds
∫C fdx =∫C f dx/dθ dθ =∫C y x' dθ=∫C asinθ( acos θ)' dθ=-a2∫0π sin2θ dθ
=-a2∫0π (1-cos2θ)/2 dθ=-a2 ([θ/2]0π-[1/4 sin2θ]0π)=-a2 (π/2- (0-0))=-a2 π/2
∫C gdy=∫C g dy/dθ dθ=∫C -z y' dθ=-∫C bθ( asin θ)' dθ=-ab∫0π θ cosθ dθ =-ab([θsinθ]0π +[cosθ]0π)
=-ab(0 - 0 -1-1)=2ab
∫C hdz=∫C h dz/dθ dθ=∫C x z' dθ=∫C acosθ( b θ)' dθ=-ab∫0π cosθ dθ =-ab[sinθ]0π =0
∫C f・ds=∫C (fdx +gdy +hdz)=∫C fdx +∫Cgdy +∫Chdz=-a2 π/2+2ab
（例）
質量ｍの物体を高さｈまで持ち上げる仕事を求める。
持ち上げる経路の１つをCとする。経路の開始から終了までtの時間がかかったとしよう。
ベクトル場F(f,g,h)=(y, -z,x) の線積分E=∫C F・dsを求める。
力はｚ方向の重力だけだから、fx=fy=0, fz= mg により、
E=∫C F・ds=∫C F・vdt=ds=∫C ( fx vx +fy vy +fz vz )dt =∫0t mg vz dt = mg ∫0t vz dt =mgh
位置エネルギーに一致するね。
ベクトル場の線積分
２．面積分
＜ヤコビアンは面積比を変換する＞
変数変換する前後のベクトルどうしの関係式
dx=∂x/∂u * du+ ∂x/∂v * dv
dy=∂y/∂u * du+ ∂y/∂v * dv
これを列ベクトルに行列をかけた変換X＝JUの形にしよう。
J=
{{dx},{dy}}=J{{du},{dv}}
となるね。
Xの基底が{e1=(1,0),e2=(0,1)}でJによる変換後のUの基底が{E1,E2}としよう。
Xの基底が張る面積は|e1×e2|=1、
Uの基底が張る面積は|E1×E2|のはずだ。
一方で、
KはJの主対角成分の入れ替えと副対角成分の符号反転により、
K＝とすると、Jの逆行列は1/|J| Kとかける
U＝J-1X＝1/|J| K X だから、基底も逆変換式でかけるでしょう。
E1=1/|J| K e1＝1/|A|{{∂y/∂v },{-∂y/∂u}} 1/|J|かけるKの1列目ベクトル
E2=1/|J| K e2＝1/|A|{{-∂x/∂v},{∂x/∂u}} 1/|J|かけるKの２列目ベクトル
いよいよ面積が出せそうだ。
|E1×E2|=1/|J| *1/|J| *|K| 1/|J|かける1/|J|かけるKの行列式
=1/|J| * 1/|J| * |J| |J|=|K|による
=1/|J|
|e1×e2|：|E1×E2|=1:1/|J|＝|J|：１=dxdy：dudv となるね。
これから、dxdy=|J|dudv
列ベクトルをp=(x,y), ∂p/∂u＝(∂x/∂u,∂y/∂u), ∂p/∂v＝(∂x/∂v,∂y/∂v)とすると、
J= ∂p/∂u ×∂p/∂v
とかけるね。
ベクトルｐが空間ベクトルになってもこの式は使えるでしょう。
＜スカラー場の面積分＞
2パラメータuvで決まる位置ベクトルp(x,y,z)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))を動いて曲面Sができる。
曲面Sはスカラー場f（x、y、z）で曲面上の点ごとに値をもつ。
そこで、曲面Sを線分のように細分して、微小面⊿Sごとに平均してスカラー値ｆをもつとしたら、
合計＝スカラーｆ×スカラー（⊿Sの面積）の総和Σによって、
曲面S全体についてのｆの合計が出せるね。
総和の極限Σｆ⊿S→∫S f dSが面積分。
・パラメータu,vのそれぞれの微小変化による点の位置pの変化の方向は別べつだ。
だから、
∂p/∂u=(∂x/∂u,∂y/∂u,∂z/∂u)、∂p/∂v=(∂x/∂v,∂y/∂v,∂z/∂v)は
曲面Sでの異なる２つの接ベクトルになる。
・この２つの接ベクトルが張る平面が接微小平面dSとなり、
その面積dS= |∂p/∂u ×∂p/∂v|
外積の定義から、n=∂p/∂u ×∂p/∂vはdSに垂直は法線ベクトルとなる。
単位法線ベクトルはｎe = ∂p/∂u ×∂p/∂v / |∂p/∂u ×∂p/∂v|
∫S f dS=∫S f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) |∂p/∂u ×∂p/∂v|
=∬D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) |∂p/∂u ×∂p/∂v| du dv （ヤコビアン行列式で変数変換）
（例）
スカラー場f(x,y,z)=x+y+z のuv平面の領域Dに対する曲面S(x,y,z)=(a sin(u) cos(v), a sin(u) sin(v), a cos(u) )
（０≦u≦π/2, 0≦v≦2π)での面積分を求める。
x2+y2=a2 sin2(u), x2+y2+z2=a2 からｘとｙで半径a sin(u)（0からa2)の円、ｚも入れると半球面になる。
S上の点p(x,y,z)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))に対して
∂p/∂u=(a cos(u)cos(v), a cos(u)sin(v), -asin(u))
∂p/∂v=(-a sin(u)sin(v), a sin(u)cos(v), 0)
∂p/∂u ×∂p/∂v=(0+a2sin2(u)cos(v), a2sin2(u)sin(v)-0, a2sin(u)cos(u)cos2(v)+a2sin(u)cos(u)sin2(v))
=a2( sin2(u)cos(v), sin2(u)sin(v), sin(u)cos(u))
|∂p/∂u ×∂p/∂v|＝a2 sqrt([sin2(u)cos(v)]2+ [sin2(u)sin(v)]2+[sin(u)cos(u)]2)=a2 sin(u)
I=∫S f dS=∬D (x+y+z) a2 sin(u) dudv
=∬D (a sin(u) cos(v)+ a sin(u) sin(v)+ a cos(u))* a2 sin(u) dudv
=a3 ∫0π/2 sin2 (u)du *∫02π cos(v)dv +a3 ∫0π/2 sin2 (u)du *∫02π sin(v)dv +a3 ∫0π/2 cos(u)sin(u) du*∫02π 1dv
ここで、
∫0π/2 sin2θ dθ =∫0π/2 (1-cos2θ)/2 dθ=[θ/2]0π/2-[1/4 sin2θ]0π/2= (π/4- (0-0))=π/4
∫0π/2 sinθcosθ dθ =1/2∫0π/2 sin2θ dθ =1/4[-cos2θ]0π/2 =1/4(1+1)=1/2
から、
I=a3 ∫0π/2 sin2 (u)du *∫02π cos(v)dv +a3 ∫0π/2 sin2 (u)du *∫02π sin(v)dv +a3 ∫0π/2 cos(u)sin(u) du*∫02π 1dv
=a3(π/4[sinv]02π -π/4[cosv]02π +1/2[v]02π )=a3(0 - 0 +1/2[v]02π )=πa3
（例）
曲面Sを三角形ABC（平面x/a+y/b+z/c =1 の非負の点）
スカラー場ｆ(x,y,z)=xyzで点PをS上を動かす。
パラメータu,vのかわりに、パラメータをx,yとする。z=φ(x,y)=c(1-x/a-y/b)
三角形ABCの領域をD、そのｘｙ平面への正射影領域をEとする。
Eのｘは0以上a以下。yは0以上b(1-x/a)以下
p(x,y,z)=(x(x,y),y(x,y),z(x,y))=(x, y, φ)
∂p/∂x=(1,0, -c/a)
∂p/∂y=(0,1, -c/b)
dS=∂p/∂x ×∂p/∂y=(c/a, c/b, 1) から、dS=sqrt((c/a)2+(c/b)2+12)dxdy=dxdy
単位法線ベクトルをn=1/|dS| (c/a, c/b, 1) とおける。
・∫S f dS= (∫S f dS,∫S g dS,∫S h dS)=(1/2, 1/4, 0)
それぞれの計算は以下の通り。
∫S f dS=∫S xyz dxdy=∫S xy c(1-x/a-y/b) dxdy
=c ∫0a∫0b(1-x/a) xy(1-x/a-y/b)dxdy
=c ∫0ax [∫0b(1-x/a) (1-x/a)y-1/b y2)dy] dx＝c a2b2 /120
=
積分計算は以下の通り。
[∫0b(1-x/a) (1-x/a)y-1/b y2)dy]
= (1-x/a)1/2[y2] 0b(1-x/a) -1/b 1/3[y3]0b(1-x/a)
= (1-x/a)1/2b2(1-x/a)2 -1/b 1/3b3(1-x/a)3= 1/6b2(1-x/a)3
だから、 ∫0ax [∫0b(1-x/a) (1-x/a)y-1/b y2)dy] dx
=1/6b2∫0ax(1-x/a)3dx
=1/6b2∫0ax(1-x/a)3dx =1/6b2∫0a x-x2/a+x3/a2-x4/a3dx =1/6b2(1/2a2-3a3/3a+3a4/4a2-a5/5a3)
=a2b2 1/6 (1/2-1+3/4-1/5)=a2b2 1/6 (1/2-1/3+1/4-1/5)= a2b2 /120
偏微分ベクトルの外積で接平面と法線がでる
半球面上の３座標和の総和
＜ベクトル場の面積分＞
2つのパラメータuvの平面の領域Dに対して、点Pが位置ベクトルp(x,y,z)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))を動く。
ベクトル場ｆ（P)＝（f、g、h）で点Pが動いて曲面Sになる。
微小曲面dSの点pでのu,vごとの接ベクトル∂p/∂u と∂p/∂vが作る外積n=∂p/∂u ×∂p/∂vは
dSに垂直は法線ベクトルだったね。
単位法線ベクトルはne = n/|n|=∂p/∂u ×∂p/∂v / |∂p/∂u ×∂p/∂v|
∫S f dS=(∫∫S f dS ,∫∫S g dS ,∫∫Sh dS)
・面素dSに対してがベクトルdS定義しよう。
dSは面積のベクトルではなく、面素のベクトルだ。
面の特徴は大きさではなく、極限としては位置pと面に対する法線nだ。
面素ベクトルdSは面Sの法線方向なので、法線単位ベクトルneに面素の大きさdSをかけたもの
dS=ne dSとしよう。
・スカラーの面積分では∫S f dSでfもdSもスカラーで、スカラー×スカラーの総和の極限だった。
ベクトル場の面積分では、∫S f ・dSではｆもdSもベクトルで、
ベクトル・ベクトル、つまりベクトルの内積の総和の極限になる。
dSはパラメータ変換ができる。dS=|∂p/∂u ×∂p/∂v|dudv
∫S f ・dS=∫S f ・ne dS=∫∫D (f dS +g dS + h dS) dudv
∫S f ・dS=∫∫D f ・(∂p/∂u ×∂p/∂v) dudv
（例）
曲面Sが川の断面、水の密度がρ。
川の流れる速度で断面と垂直な成分をvnとすると水は時間tでvntだけ移動する。
時間tで断面Sを通過する水は底面積S、高さvntの柱体になるね。
だから、通過する水の質量はm=密度×体積＝ρvntS
単位時間ではM＝m/t= ρvnS
さらに、vnはばらつきがあるのでSで積分すると正確になる。M=∫sρvndS=∫sρvdS
（例）
曲面Sを三角形ABC（平面2x+2y+z-2=0の非負の点）
ベクトル場ｆ（P)＝（f、g、h）=(x, y2,0)で点PをS上を動かす。
パラメータu,vのかわりに、パラメータをx,yとする。z=φ(x,y)=2-2x-2y。
三角形ABCの領域をD、そのｘｙ平面への正射影領域をEとする。
Eのｘは0以上１以下。yは0以上1-x以下
p(x,y,z)=(x(x,y),y(x,y),z(x,y))=(x, y, φ)
∂p/∂x=(1,0, -2),
∂p/∂y=(0,1,-2)
dS=∂p/∂x ×∂p/∂y=(2, 2, 1) から、dS=sqrt(22+22+12)dxdy=3dxdy
単位法線ベクトルをn=1/3(2,2,1)とおける。
・∫S f dS= (∫S f dS,∫S g dS,∫S h dS)=(1/2, 1/4, 0)
それぞれの計算は以下の通り。
∫S f dS=∫S x dS=∫01x∫01-x3dxdy=3(∫01 x[y]01-x)dx=3∫01 (x-x2)dx=3(1/2-1/3)=3*1/6=1/2
∫S g dS=∫S y2 dS=∫011∫01-xy23dxdy=3∫01[1/3y3]01-x) dx= ∫01 (1-x)3dx= (1-3/2+3/3-1/4)=1/4
・∫S f ・dS= ∫∫E (f nx +g ny + h nz) dxdy=∫∫E(x*2+y2*2+0*1) dxdy
=2∫01x(∫01-xdy)dx+2∫01(∫01-xy2dy)dx=2∫01(x-x2)dx+2/3 ∫01(1-x)3dx= 2*1/6+2/3 *1/4= 1/3+1/6=1/2
・∫S f ×dS= ∫S (f,g,h)×dS
=∫S (x, y2,0)× (2,2,1)= (∫∫E y2dxdy, ∫∫E xdxdy, ∫∫E (2x-2y2)dxdy)
= (∫∫E y2dxdy, -∫∫E x dxdy, ∫∫E (2x-2y2)dxdy)=(1/12, -1/6, 1/6)
それぞれの計算は以下の通り。
∫∫E y2dxdy＝∫S y2 dS/3=1/4÷3=1/12
∫∫E x dxdy ＝∫S x dS/3=1/2÷3=1/6
∫∫E (2x-2y2)dxdy= 2*1/6- 2*1/12=1/3-1/6=1/6
３．体積分
＜スカラー場の体積分＞
位置ベクトルp(x,y,z)を動いて立体Vができる。
立体Vはスカラー場f（x、y、z）で領域内の点ごとに値をもつ。
そこで、立体Sを線分のように細分して、微小体⊿Vごとに平均してスカラー値ｆをもつとしたら、
合計＝スカラーｆ×スカラー（⊿Vの体積）の総和Σによって、
立体V全体についてのｆの合計が出せるね。
総和の極限Σｆ⊿V→∫v f dVが体積分。
・スカラー関数f=X(x)Y(y)Z(z)と各変数の関数の積で表すことができるなら、
∫vfdV=∫∫∫f dxdydz=∫(∫(∫f dx)dy)dz=∫(∫(∫XYZdx)dy)dz
=∫Z(∫Y(∫Xdx)dy)dz
=∫Z(z)dz ∫Y(y)dy ∫X(x)dx
・球体積分
パラメータとして、原点からの距離ｒ、ｚ軸からの角θ、ｘ軸からの角φとしよう。
原点からの微小増である厚さはdr,
ｚ軸からの半径rが微小角dθ動くと弧（たて）はrdθ,
ｚ軸からθにある半径rのｘｙ平面への射影がrsinθで、それが微小角dφ回転した弧（よこ）はrsinθdφ
だから、
dV=dr ×r dθ×r sinθdφ＝ r2 sinθ dr dθ dφ
f=1とするなら、球の大きさ、球の体積がでるはずだ。
０≦φ≦2πで円周を作り、０≦θ≦πで円円周を北極から南極まで移動し、０≦r≦aで中をつめる。
∫vfdV=∫∫∫1 dr ×rdθ×rsinθdφ=∫(∫(∫ r2 sinθ dφ)dθ)dr =∫(∫r2 2πsinθ dθ)dr
=∫-r2 2π[cosθ]0πdr=∫-r2 2π(-2)dr=4π∫r2 dr=4/3π[r3]0a=4/3πa3
・パラメータu,v,wでp(x,y,z)も場ｆも規定されるとき、
微小体dVの点pでのu,v,wごとの方向ベクトル∂p/∂u ,∂p/∂v,∂p/∂wが作る
スカラー3重積（∂p/∂u ,∂p/∂v,∂p/∂w）＝∂p/∂u ・(∂p/∂v ×∂p/∂w)は３つの方向ベクトルが作る
平行６変形の体積を表すから、dVの大きさだ。
∫vfdV=∫vf(x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w))∂p/∂u ・(∂p/∂v ×∂p/∂w)
・スカラー3重積と球体積分
球体の位置ベクトルｐ=(x,y,z)をパラメータとして、原点からの距離ｒ、ｚ軸からの角θ、ｘ軸からの角φ
によって規定するとき、
x=r sinθ cos φ 、y= r sinθ sin φ、z＝r cos θとするとｐの位置ベクトルの成分になる。
スカラー3重積（∂p/∂r , ∂p/∂θ, ∂p/∂φ）
＝∂p/∂r ・(∂p/∂θ ×∂p/∂φ)
∂p/∂r=( sinθcos φ, sinθsin φ, cos θ) dr
∂p/∂θ=(r cosθcos φ, r cosθsin φ, -r sinθ) dθ
∂p/∂φ=(-r sinθ sinφ, r sinθcosφ, 0) dφ
=( sinθcos φ, sinθsin φ, cos θ) ・[(r cosθcos φ, r cosθsin φ, -r sinθ)×(-r sinθ sinφ, r sinθcosφ, 0)] dr dθ dφ
=( sinθcos φ, sinθsin φ, cos θ) ・(r2 sin2θcosφ , r2 sin2θsinφ , r2 sinθcosθ )dr dθ dφ
=( r2 sin3θcos2φ ＋ r2 sin3θsin2φ ＋ r2 sinθcos2θ )dr dθ dφ
=( r2 sin3θ ＋ r2 sinθcos2θ )dr dθ dφ
dV= r2 sinθ dr dθ dφ スカラー3重積を使うことで、体積分を球体積分としての微小体積を数式で求めることができた。
＜ベクトル場の体積分＞
ベクトル場ｆでもスカラー場ｆと同様な式で体積分できる。
スカラー場
∫v f dV=∫v f(x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w)) ∂p/∂u ・(∂p/∂v ×∂p/∂w)
ベクトル場
∫v ｆ dV=∫v ｆ ∂p/∂u ・(∂p/∂v ×∂p/∂w)