Illeszkedés síkban és térben
- Szerző:
- Szilassi Lajos
Egy híres illeszkedési feladat:
Vegyük fel az A1B1C1∆ valamint az A2B2C2∆ háromszöget úgy, hogy az egymásnak megfelelő pontokat összekötő (A1A2), (B1B2) és (C1C2) egyenesek egy O pontra illeszkedjenek. (Az ilyen háromszögeket centrálisan perspektív háromszögeknek O-t a perspektivitás centrumának nevezzük.)
Milyen kapcsolat fedezhető fel az egymásnak megfelelő egyenesek , At=(B1C1)∩(B2C2), Bt=(A1C1)∩(A2C2), és Ct=(A1B1)∩(A2B2) metszéspontjai között?
Az önálló felfedezés örömétől nem szeretnénk megfosztani olvasóinkat azzal, hogy elébük tárjuk e feladat lényegében igen egyszerű megoldását. Előbb végezzék el a szerkesztést önállóan, és csak ezt követően tekintsék meg az alábbi appletet.
A szerkesztés során - egyelőre - az A1 ,B1 és C1 valamint az O pont legyen szabad, tetszőlegesen mozgatható. Az A2 , B2 és C2 félig kötött pontként illeszkedjen rendre az (OA1), (OB1), ill. (OC1),egyenesre.
Bizonyára eljutottak olvasóink addig az erős sejtésig, hogy a feladatban szereplő At, , Bt és Ct pontok egy egyenesre illeszkednek, (azaz kollineárisak).
Gérard Desargues 1591-1662 (ejtsd: Dézárg) 1648-ban publikálta azt a nevéhez fűződő tételt, amelyet most a GeoGebra eszköztárával mutatunk be több szempontból -pl. térgeometriai szempontból is -megvilágítva.
Itt olvashatunk két rövid definíciót, amelyekkel ugyancsak röviden megfogalmazható maga A Desarques -tétel is. Ha két háromszög centrálisan perspektív, akkor és csak akkor tengelyesen (axiálisan) is perspektív.
Az alábbi appletben a fenti javaslattól eltérő módon az A1 , B1, C1 , A2 , B2 pontok szabadok, O szerkesztett, csak a c=(OC1) egyenesre illeszkedő C2 a félig kötött pont. (A legtöbb szerkesztésben két félig kötött pont "kiváltható" egy szabad ponttal.)
Itt - az anyag végén - láttuk, hogy két egyenes metszéspontjára és egy további pontra illeszkedő egyenest akkor is megadja a GeoGebra, ha a metszéspont végtelen távoli. Ez lehetőséget arra, hogy a két háromszög közötti perspektív kapcsolat speciális eseteként egyéb - többé-kevésbé ismert - összefüggésekre derülhet fény. Nevezetesen:
- Az általános eset: a perspektivitás O centruma és t tengelye az euklideszi sík pontja ill. egyenese, melyek nem illeszkednek egymásra;
- ennek speciális esete az un. kis-Desarques alakzat, amelyben O illeszkedik t-re;
- centrális nyújtás: ha t végtelen távoli egyenes;
- ennek speciális esete a centrális tükrözés, ha O felezi az egymásnak megfelelő pontokat összekötő szakaszok bármelyikét, (ekkor a többit is felezi);
- az un. tengelyes affinitás, ha O végtelen távoli pont, t véges;
- ennek speciális esete a tengelyes tükrözés, ha O felezi az egymásnak megfelelő pontokat összekötő szakaszok bármelyikét, (ekkor a többinek is szakaszfelező merőlegese);
- eltolás, ha O és t egyaránt végtelen távoli. (Ekkor is mondhatjuk, hogy O illeszkedik t-re.)
Desarques tétele. és speciális esetei
A Desqarques alakzat
Ha úgy rajzoljuk meg a Desarques alakzatot, hogy csak a fenti (részben szabad, részben szerkesztett) tíz pontól és a hozzájuk tartozó tíz egyenesből álló alakzatot alakzatot, hogy nem tüntetjük fel a két centrálisan - így tengelyesen is - perspektív alakzatot, akkor utólag nem mondható meg, hogy melyek voltak a háromszögek, melyik pont a perspektivitás centruma és melyik egyenes a tengelye.
Ez azt jelenti, hogy az így kapott tíz pontból és tíz egyenesből álló geometriai alakzatot, ahol minden pontra három egyenes és minden egyenesre három pont illeszkedik a matematika a (103 ,103) jelölést használja.
Bármelyik pontot kijelöljük a perspektivitás centrumaként (a mozgatható pontot rendre a kiszemelt pontra húzva), akkor ezzel egyértelműen meghatároztuk a tengelyt és a két perspektív háromszöget is.
Így meggyőződhetünk arról, hogy az alakzatnak valóban minden pontja és egyenese "egyenrangú", egynek sincs kitüntetett szerepe.
Természetesen az alakzat megszerkesztéséhez itt is megkülönböztethetők a szabad, félig kötött és szerkesztett pontok.
Desarqes tétel a térben
Joggal kérdezhetik olvasóink, hogy miért a térgeometriai témák között szerepel ez a problémakör?
A kitűzött feladatban nem szerepelt az a feltétel, hogy a két háromszögnek egy síkban kell lennie.
Így most vegyünk fel két, centrálisan perspektív háromszöget, amelyek síkja nem esik egybe.
Centrálisan perspektív háromszögek a térben
Épp úgy, mint az előző appletben, most is négy szabad és három félig kötött ponttal állítottuk elő a Desarques alakzat térbeli megfelelőjét. Azonnal látszik, hogy lényegében egy háromélű gúlafelület (triéder) két síkmetszetét adtuk meg. A gúla oldallapjainak valamit a két háromszög síkjának egy-egy közös pontja lesz az a t egyenes, ahol a két háromszög oldalegyenesei metszik egymást. így hát azt mondhatjuk, hogy a térbeli Desarques tétel igazolása azon alapszik, hogy három különböző síknak legfeljebb egy közös pontja lehet, és ez a három sík páronként vett metszésvonalainak a közös pontja.
Ezzel lényegében a síkbeli Desarques tételt is igazoltuk, hiszen elegendő a síkbeli alakzat O centrumát kimozdítani a síkból, és máris a térbeli alakzathoz jutunk, ez a mozgás viszont mindkét irányban illeszkedéstartó.
Itt most azzal a nem mindennapi esettel találkoztunk, amikor egy síkgeometria tétel igazolását térgeometria összefüggések felhasználásával oldottuk meg. Ráadásul igen egyszerűen.
További kapcsolatok
A Desarques tétel kapcsán már eddig is találkoztunk néhány új megvilágításba került összefüggéssel.
A továbbgondolás ,alkalmazás lehetőségei közül most egyet emelünk ki.
Bár a Desarques tétel háromszögek kapcsolatáról szól, a háromszögek helyett bármilyen sokszögre is érvényes, hogy ha centrálisan perspektívek, akkor tengelyesen is petrspektívek.
Például ha egy négyszög alapú gúla vagy hasáb minden alkotóját metszi egy sík, a keletkező metszéspontok egy az alaplappal centrálisan perspektív négyszöget határoznak meg. Így centrálisan perspektív egy csonka gúla, vagy csonkolt gúla vagy hasáb alap- és fedőlapja. (Csonka gúla: az alap és fedőlap síkja párhuzamos; csonkolt gúla: az alap- és fedőlap síkja metsző.) Hasáb esetén a centrum végtelen távoli pont.
Azt is mondhatjuk , hogy minden paralelepipedon (azaz paralelogramma alapú ferde hasáb), speciálisan: téglatest vagy kocka, valamint csonkagúla két-két szemközti lapja centrálisan perspektív. Csak ezek közül két, vagy három centrum végtelen távoli.
Vajon van-e olyan ugyancsak hat négyszögből álló (kocka szerkezetű) poliéder, amelynek a szemközti lapjai centrálisan perspektívek úgy, hogy mindhárom irányban véges a centrum.
Ugyanez így is fogalmazható, hogy van-e olyan hat négyszögből álló poliéder, amely három különböző módon is kiegészíthető gúlává?
Megmutatjuk, hogy van. Nevezzük ezt projektív kockának. Az alábbi appletet úgy készítettük el, hogy a kockából kiindulva a dinamikus geometria eszköztárával -vagyis a csúcsok mozgatásával - rendre érjük el az imént említett általános és speciális eseteket.
Olvasóinkra bízzuk annak a kérdésnek az elemzését, hogy melyek a jól ismert - euklídeszi értelemben vett -kockának azok a tulajdonságai, amelyek a projektív kockára is érvényesek.
Ezek közül kiemelünk néhányat:
- Testátlói egy pontra illeszkednek.Nevezzük ezt a pontot a projektív kocka középpontjának!
- Nevezzük egy-egy lap középpontjának a lapok átlóinak a metszéspontjait! A szemközti lapok középpontjait összekötő egyenesek is illeszkednek a projektív kocka középpontjára.
- Nevezzük a projektív kocka iránypontjainak az élek egyenesinek a metszéspontjait. Egy projektív kockának három iránypontja van, mindegyikre négy-négy él-egyenes illeszkedik.