Pentagramma mirificum
Das Pentagramma mirificum ist ein fünfzackiger Stern auf der Sphäre wie oben abgebildet. Die Verbindungen der Ecken sind Großkreisbögen. Die Besonderheit ist, dass sich in den Punkten P, Q, R, S, T rechte Winkel befinden. Die Punkte A, B, C, D, E sind daher Pole der gegenüberliegenden Seiten, und das innere Fünfeck ABCDE ist "selbstpolar". Die Seiten dieses Fünfecks werden durch die Winkel am Mittelpunkt der Kugel gemessen.
Für das rechtwinklige Dreieck APB gilt nach dem "sphärischen Pythagoras"
oder
und analog
,
,
,
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Aus der dritten, ersten und fünften Gleichung folgt
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Die Quadrate der Kehrwerte ergeben wegen die Gleichung oder mit den im Applet verwendeten Bezeichnungen:
und weiter durch zyklische Vertauschung
,
,
,
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Dies entspricht einem arithmetischen Fries der Periodenlänge 5 (s. Tabelle). Die dunkel markierten Felder enthalten c und e, die durch Bewegen der Punkte A und B verändert werden können. Die übrigen Felder sind dadurch bestimmt. Die Periodizität ergibt sich zwingend daraus, dass drei der obigen Gleichungen die beiden anderen zur Folge haben. So ist sichergestellt, dass der sphärische Streckenzug P-R-T-Q-S-P sich schließt.