Pentagramma mirificum
Ein Pentagramma mirificum (nach John Napier [1614] und Carl Friedrich Gauß [1843]) ist ein fünfzackiger Stern auf der Sphäre wie oben abgebildet. Die Verbindungen der Ecken sind Großkreisbögen. Die Besonderheit ist, dass sich in den Punkten P, Q, R, S, T rechte Winkel befinden. Das innere Fünfeck ABCDE ist daher "selbstpolar", d.h. die Eckpunkte A, B, C, D, E sind Pole der gegenüberliegenden Seiten. Die Seitenlängen dieses Fünfecks werden durch die Winkel am Mittelpunkt der Kugel gemessen. Die Winkel und sind zwischen 0 und frei und unabhängig voneinander wählbar indem man die Punkte B und C auf ihren Viertelkreisbögen AQ bzw. DQ bewegt. Die anderen Winkel sind dadurch bestimmt.
Gauß entdeckte das folgende periodische Berechnungsverfahren:
Für das rechtwinklige Dreieck APB gilt nach dem "sphärischen Pythagoras"
oder
und analog
,
,
,
.
Aus der ersten, dritten und vierten Gleichung folgt
.
Die Quadrate der Kehrwerte ergeben hieraus wegen die Gleichung oder mit den im Applet verwendeten Bezeichnungen:
und weiter durch zyklische Vertauschung
,
,
,
.
In der richtigen Reihenfolge angewendet, liefern diese Gleichungen eine zyklische Folge (a, d, b, e, c, a, d, ...), die der Rekursionsvorschrift a0 := a, a1 := d, an := (an-1 + 1) / an-2 genügt. Die Reihenfolge entspricht der Durchlaufung des Pentagramms in einem Zug. (Umgekehrt folgt die Periodizität rein arithmetisch aus der Rekursionsvorschrift sowie aus der Tatsache, dass drei der obigen fünf Gleichungen die beiden anderen zur Folge haben, sofern alle Werte positiv sind.)
Bei den voreingestellten Winkeln enthält die Folge charmanterweise nur ganzzahlige Werte.
In einem "arithmetischen Friesmuster" (s. Tabellenansicht oben) erfüllt per definitionem jede Vierergruppe der Form
u
x y
v
die Bedingung xy - uv = 1. Startet man mit a und d in den dunklen Feldern (frei wählbar durch Bewegen der Punkte B und C), so erhält man aufgrund der obigen Gleichungen in den inneren beiden Zeilen das Muster
... a b c d e a ...
... d e a b c d ...,
welches die für arithmetische Friesmuster charakteristische Gleitspiegelsymmetrie aufweist.
(Empfehlung: Drücke die kleine Play-Taste unterhalb der Grafik, um die Konstruktion des Applets schrittweise abzuspielen.)
Scrollt man in der Tabelle weiter nach unten, so findet man noch zwei Felder S und P für Summe und Produkt von a, b, c, d, e. Durch Variation der Anfangswerte kann man leicht die von Gauß so bezeichnete "schöne Gleichung" entdecken. Der Beweis ist nicht schwer!