Solidi di rotazione
DEFINIZIONE
Data una funzione continua nell'intervallo e la si ruota di un angolo giro attorno all'asse delle ascisse, si ottiene una figura detta solido di rotazione.
TEOREMA
Data una funzione continua nell'intervallo , il volume del solido di rotazione intorno all'asse X si ottiene calcolando
DIMOSTRAZIONE
Si divide l'intervallo in n intervalli uguali , con e , di ampiezza ; visto che la funzione è continua in , lo sarà anche negli n sotto-intervalli, quindi in ognuno vale il Teorema di Weierstrass, ovvero esiste il minimo e massimo assoluto della funzione per ogni intervallo, ovvero:
Si considerano i rettangoli aventi come base e per altezza rispettivamente i minimi per quelli inscritti, i massimi per quelli circoscritti. Ognuno di questi, ruotato intorno all'asse X di un angolo giro, genera un cilindro di volume rispettivamente:
dove, se ci si riferisce al volume di un cilindro , il raggio di base è rappresentato rispettivamente da e , mentre l'altezza del cilindro da .
Pertanto, sommando i volumi rispettivamente degli n cilindri inscritti e degli n cilindri circoscritti, vale quanto segue:
In analogia alla definizione d'integrale definito, se si calcolano i limiti per n che tende a infinito si ha quanto segue:
ovvero concettualmente e "convergono" ad mentre diventa infinitesimo , riconducendo quindi le sommatorie discrete nella sommatoria continua .
OSSERVAZIONE
In caso di funzione non continua in un numero finito di punti con discontinuità di prima e/o terza specie, si può ripartire il problema partizionando l'intervallo e applicando la proprietà 5 degli integrali definiti.