Endliche 6-Eck-Netze aus Kreisen
- Autor:
- Walter Füchte
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (31. August. 2022)
Das 6-Eck-Netz oben besteht aus 3 * 6 Kreisen, welche eine 2-teilige bizirkulare Quartik doppelt-berühren. Je 6 Kreise gehören zu einer der 3 Symmetrieen: -Achsen-symmetrisch, Einheitskreis-symmetrisch und eine 3.-te Symmetrie an einem imaginären Kreis: praktisch ergibt sich diese Symmetrie durch Spiegelung an den 2 Achsen und am Einheitskreis. Die 3 * 6 Kreise schneiden sich 6 * 6 gemeinsamen Punkten. Diese Punkte liegen in 2 verschiedenen Überlagerungen der komplexen Ebene: Netz 1 und Netz 2. Beweglich sind im Applet der Brennpunkt f, der Scheitelpunkt s und der Anfangspunkt p0 des Netzes. Der Anfangspunkt p0 bewegt sich auf einem -achsensymmetrischen Grund-Kreis , den man verändern kann. Schließlich kann man die Anzahl der Kreise erhöhen: damit das Netz sich dann schließt, müßten weitere Kreise ergänzt werden. Zur Konstruktion: Wir verwenden Hinweise aus Walter Wunderlichs Artikel: "Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" (Lit.Verz. WUNW 1938). Durch den Punkt p0 werden mit Hilfe der Leitkreise aus jeder Schar doppelt-berührender Kreise je ein Kreis konstruiert. (Besonderheit: die zugehörigen Punkte auf den Leitkreisen liegen auf einem Kreis durch p0!) Zum Leitkreis der Einheitskreis-symmetrischen doppelt-berührenden Kreise liegen die Brennpunkte f' und f'' symmetrisch. Durch Drehung um 60° um diese Grundpunkte erhält man 5 weitere Punkte für zugehörige doppelt-berührende, Einheitskreis-symmetrischen Kreise. Aus den Schnittpunkten mit dem Kreis konstruiert man das endliche 6-Eck-Netz. Wie konstruiert man die doppelt-berührenden Kreise mit Hilfe der Leitkreise? Es wird eine Eigenschaft der doppelt-berührenden Kreise genutzt: spiegelt man einen ausgewählten Brennpunkt (im Beispiel f) an den doppelt-berührenden Kreisen, welche zu einer Symmetrie gehören, so liegen die Spiegelpunkte auf einem Kreis: dem zugehörigen Leitkreis. Jedem Punkt auf einem solchen Leitkreis ist eindeutig ein doppelt-berührender Kreis zugeordnet. Die Berührpunkte sind nicht immer reell!Das Applet oben zeigt ein endliches 6-Eck-Netz aus 3 * 3 Kreisen und 3 * 3 Schnittpunkten.
Je 3 der Kreise gehören zu jeweils einer der 3 Symmetrieen der bizirkularen Quartik.
Die 3-Eck-Eigenschaft ist nicht so einfach zu erkennen: die Schnittpunkte liegen in 2 Überlagerungen der komplexen Ebene.
Man betrachte hierzu die 2 Netzanteile: nützlich ist es, die Punkte als Punkte auf Kreisen zyklisch zu betrachten.
Das wird durch das Parallelen-6-Eck unten links verdeutlicht.
Vielleicht läßt sich die Überlagerung räumlich darstellen, zum Beispiel mit einer passenden DARBOUX Cyclide!?
Variieren läßt sich im obigen Applet die Startposition:
gebra liegen:
2 Kreise besitzen in der Regel 2 Schnittpunkte und .
Die Nummerierung hängt (für uns nicht nachvollziehbar) von der Lage der Kreise ab!
Das 6-Eck-Netz des obigen Applets besitzt eine bemerkenswerte und merkwürdige Besonderheit:
Die 3 doppelt-berührenden Kreise durch einen vorgegebenen Punkt werden konstruiert durch zugehörige Punkte auf den
zugehörigen Leitkreisen. Dafür gibt es jeweils 2 Möglichkeiten, also insgesamt für die 3 Kreise 2*3 = 6 Möglichkeiten.
Oben sind die Leitkreis-Punkte und zugehörigen Kreise so gewählt, dass sie mit dem vorgegebenen Punkt
auf einem Kreis liegen. Siehe Zuordnung ...! Allein, dass dies möglich ist, ist bemerkenswert!
Es entstehen 3 * 3 Kreise (durch die 9 vorgegebenen Punkte), die sich auf den 3 * 3 Leitkreis-Punkten
auf den 3 Leitkreisen schneiden: np = 9.
Vor uns liegt ein endliches 3 * 3 6-Eck-Netz mit diagonalen Kreisen: also ein 6-Eck-4-Netz.
Als Diagonalen dienen die Leitkreise, siehe auch das 6-Eck-4-Netz aus Parallelen rechts unten.
Die Frage, ob sich dieses bisher wohl nicht bekannte 6-Eck-Netz kontinuierlich fortsetzen läßt, können wir nicht beantworten.
Eine Anregung: Läßt sich ein solches 3 * 3 Netz mit Diagonalen auf einem Torus realisieren
Längskreise, Querkreise und Villearcau-Kreise in zwei Rihtungen bei geeigneten Torus-Abmessungen?
- Die Lage des Kreises durch kann geändert werden, die Quartik bleibt dabei unverändert.
- Die Fixierung des Scheitelpunktes s ist aufgehoben.
- Die Lage der Brennpunkte können mit f geändert werden.
gebra liegen:
2 Kreise besitzen in der Regel 2 Schnittpunkte und .
Die Nummerierung hängt (für uns nicht nachvollziehbar) von der Lage der Kreise ab!
Das 6-Eck-Netz des obigen Applets besitzt eine bemerkenswerte und merkwürdige Besonderheit:
Die 3 doppelt-berührenden Kreise durch einen vorgegebenen Punkt werden konstruiert durch zugehörige Punkte auf den
zugehörigen Leitkreisen. Dafür gibt es jeweils 2 Möglichkeiten, also insgesamt für die 3 Kreise 2*3 = 6 Möglichkeiten.
Oben sind die Leitkreis-Punkte und zugehörigen Kreise so gewählt, dass sie mit dem vorgegebenen Punkt
auf einem Kreis liegen. Siehe Zuordnung ...! Allein, dass dies möglich ist, ist bemerkenswert!
Es entstehen 3 * 3 Kreise (durch die 9 vorgegebenen Punkte), die sich auf den 3 * 3 Leitkreis-Punkten
auf den 3 Leitkreisen schneiden: np = 9.
Vor uns liegt ein endliches 3 * 3 6-Eck-Netz mit diagonalen Kreisen: also ein 6-Eck-4-Netz.
Als Diagonalen dienen die Leitkreise, siehe auch das 6-Eck-4-Netz aus Parallelen rechts unten.
Die Frage, ob sich dieses bisher wohl nicht bekannte 6-Eck-Netz kontinuierlich fortsetzen läßt, können wir nicht beantworten.
Eine Anregung: Läßt sich ein solches 3 * 3 Netz mit Diagonalen auf einem Torus realisieren
Längskreise, Querkreise und Villearcau-Kreise in zwei Rihtungen bei geeigneten Torus-Abmessungen?