Immer der gleiche Fehler ...
Es wird die Funktion
vorgestellt und dazu gesagt, dass der Graph dieser Funktion die Form einer frei hängenden Kette wiedergibt, weshalb diese Funktion auch als Kettenlinie bezeichnet wird.
Gelegentlich wird auch ergänzt, dass diese Funktion identisch mit der Kosinus-Hyperbolicus-Funktion ist:
Vielleicht wird auch noch eine graphische Darstellung dazu ergänzt.
Soweit ist noch alles richtig ...
Offensichtlich ist die bisher beschriebene Kettenlinie noch sehr speziell, sie verläuft auf jeden Fall durch den Punkt S(0|1) des Koordinatensystems und z.B. auch (ungefähr) durch den Punkt A(-2|3,762) sowie B(2|3,762).
Wird nun aber eine Funktion gesucht, die den Verlauf einer frei hängenden Kette beschreibt, die z.B. in den Punkten A(-4|3) und B(4|3) aufgehängt ist und die ihren tiefsten Punkt bei S(0|0,8) hat, so müssen Parameter in die ursprüngliche Funktion eingefügt werden, damit die neue Funktion durch diese drei vorgegebenen Punkte verläuft.
... und ab hier läuft etwas schief:
Die Funktion wird einfach zu
oder
abgeändert.
(So oder so ähnlich wird es in den meisten Mathematikbüchern für die gymnasiale Oberstufe gemacht.)
Auf diese Weise wird die Funktion bzw. ihr Graph für in y-Richtung gestreckt.
In x-Richtung erfolgt eine Streckung bei der ersten Funktionsgleichung für und bei der zweiten für .
Scheinbar hat man auf diese Weise die passende Funktion gefunden, der Fehler fällt kaum auf.
Der Parameter ist leicht zu berechnen:
Weil die Funktion durch C verläuft, muss gelten
Also ist .
Um zu berechnen werden die Koordinaten von B in die Funktionsgleichung eingesetzt:
Substituiert man durch z, so erhält man eine quadratische Gleichung für z, und daraus schließlich .
Im Applet oben ist die Funktion dargestellt.
Wenn die drei Punkte A, B und C um 0,7 tiefer angesetzt werden sollte sich ja eigentlich an der Form der frei hängenden Kette nichts ändern. Aber spätestens jetzt zeigt sich, dass der obige Ansatz nicht richtig sein kann:
Der Ansatz von oben führt zu dem Graphen , der von der Form her nicht mehr kongruent zu dem Graphen von ist.
Wenn Sie noch einen Schritt weiter gehen, die Punkte A und B auf die Höhe 2,2 setzen und C auf die Höhe 0, dann führt obiger Ansatz sogar auf und es gibt keine Lösung mehr für .
Der Fehler im Ansatz wird damit offensichtlich!
Die spezielle Kettenlinie von bleibt nur dann von der Form her eine Kettenlinie, wenn sie in x- und in y-Richtung um denselben Faktor gestaucht oder gestreckt wird!
Das ergäbe sich auch, wenn man sich vorstellt, dass die Längeneinheit im Diagramm von cm auf Zoll oder Meter geändert wird.
Oder man beachtet die korrekteDefinition für eine Kettenlinie.
Die Form der Kettenlinie wird nur durch den einen Parameter a bestimmt.
Da diese Funktion aber ihren Tiefpunkt in (0|a) hat, muss sie in der Regel noch in y-Richtung verschoben werden.