Problema de la tarjeta en una sala de recreativos

Autor:
SeiemXXIV
En un establecimiento de juegos recreativos del Reino Unido se emplea un sistema de pago basado en una tarjeta con una moneda virtual llamada "token". Hay dos juegos A y B cuyo coste por partida son 4.6 y 7.8 tokens respectivamente. Se aceptan exclusivamente recargas de 80 tokens (Cuesta 20 libras). ¿Cuál es la cantidad mínima de recargas de 20 libras para dejar la tarjeta con un saldo final de 0 tokens gastando el crédito en convenientes partidas de los juegos A y B? Resolución: Una estrategia a seguir, que quizás pueda mejorarse con una estrategia que trate de combinar las partidas del juego A y B y que logre minimizar la cantidad de recargas necesaria, consiste en jugar exclusivamente al juego B de manera que el saldo restante sea un múltiplo de 4.6, de tal manera que podamos gastar ese remanente en el juego A, logrando una cantidad de recargas suficiente de 14. ¿Pero se puede mejorar? Se han diseñado los applets para que se puedan manipular los datos iniciales del problema: Fijar el coste de la recarga, la equivalencia en tokens, el precio del juego A y el precio del juego B y generalizar la resolución de este problema. La primera fila del applet sirve para saber directamente el saldo restante de una tarjeta a la que se le han aplicado un número determinado de recargas (en el ejemplo 60), sin necesidad de realizar el desglose que también se incluye en el diseño del Applet. Esta fila es apropiada cuando quieres comprobar la solución que has obtenido por un método algebraico de cálculo. Por ejemplo, si el precio del juego A es de 5.7 tokens, necesitaré exactamente 57 recargas para limpiar la tarjeta, sin necesidad de desglosar las 57 recargas y eso se puede comprobar automáticamente.
En este applet se muestra que basta una recarga de 80 tokens para poder gastarla complementamente empleando partidas de juego A y juego B. Esta estrategia se basa en el desglose minucioso de la cantidad inicial de saldo, de manera que el saldo inicial se reparte entre los dos juegos, de manera que hay que buscar el saldo correspondiente a las partidas con el juego A que sea divisible por el precio del juego B, o viceversa. En este caso, se obtiene que 80 tokens se pueden gastar en 14 partidas de Juego A y 2 partidas de Juego B, por lo que solo basta una única recarga para satisfacer el enunciado del problema.
Otras cuestiones relacionadas que puedes responder:
  1. Con un saldo de 80 tokens he jugado la mayor cantidad posible de partidas al juego A y me han sobrado 2.3 tokens. Averigua los posibles precios del juego A (de la forma a.bc tokens) y la cantidad de partidas jugadas correspondientes.
  2. Con un saldo de 80 tokens he jugado 17 partidas al juego A con un precio de 4.6 tokens. ¿Cuáles podrían ser los precios del juego A de la forma a.b tokens, de manera que se puedan jugar 17 partidas gastando la mayor cantidad posible de un saldo inicial de 80 tokens?
  3. ¿Cuántas recargas de 80 tokens necesitamos como mínimo para gastar la totalidad del saldo de la tarjeta en partidas del juego A cuando el precio del juego A es de 11.1 tokens?
  4. Encuentra precios de los juegos A y B (de la forma 1.a, es decir, con un solo decimal) para los cuales se necesitan exactamente un mínimo de 3 recargas de 80 tokens para gastar completamente el saldo en partidas convenientes de los juegos A y B.
  5. He gastado 80 tokens completamente en 2 partidas del juego A y 10 partidas del juego B. Se sabe que el precio del juego A es un valor natural entero y que el precio del juego B está comprendido entre 4 y 5 tokens. ¿Cuáles son los posibles precios del juego A y juego B?