Σταθερό εμβαδόν - ελάχιστη περίμετρος
- Author:
- e-arsakeio
Γενικά
Στη δραστηριότητα που ακολουθεί εξετάζουμε το εξής πρόβλημα:
Γεωμετρική διατύπωση:
"Από όλα τα ορθογώνια με σταθερό εμβαδόν, ποιο έχει την ελάχιστη περίμετρο"
Αλγεβρική διατύπωση:
"Από όλους τους πραγματικούς αριθμούς x και y με σταθερό γινόμενο, ποιοι έχουν το ελάχιστο άθροισμα."
Οδηγίες
Στο δόμημα εμφανίζονται αρχικά:
- στο αριστερό παράθυρο: ένας δρομέας από τον οποίο μεταβάλλεται η ημιπερίμετρος x+y=τ του ορθογωνίου. Το εμβαδόν παίρνει τιμές από το διάστημα [0,5] και μπορεί να αλλάζει δίνοντας τιμές στο αντίστοιχο κουτί.
- στο δεξί παράθυρο: εμφανίζεται η γραφική παράσταση της ευθείας x+y=τ, όπου τ η ημιπερίμετρος του ορθογωνίου. Επίσης εμφανίζεται η απόσταση d της αρχής των αξόνων από αυτή την ευθεία. Τέλος, ένας πίνακας τιμών που αφορά στη συμμεταβολή του d ως προς το τ.
Πειραματισμός: 1ο στάδιο (διατύπωση εικασίας)
Πειραματιστείτε για διάφορες τιμές του δρομέα "x+y=τ" και παρατηρήστε τον πίνακα τιμών (x+y,d).
- Από τον πειραματισμό σας, προκύπτει ότι υπάρχει ελάχιστη τιμή της παράστασης x+y;
- Αν ναι, πότε συμβαίνει αυτό; Ειδικότερα: Τί σχήμα φαίνεται να έχει το ορθογώνιο ΟΑΒΓ;
- Πώς φαίνεται να συνδέεται η απόσταση d της αρχής των αξόνων από την ευθεία x+y=τ με το κεντρικό μας ερώτημα;
- Με βάση τα προηγούμενα ερωτήματα, διατυπώστε μια εικασία για το αρχικό ερώτημα.
Απόδειξη εικασίας
Με βάση τα δεδομένα και τα ζητούμενα το πρόβλημα μοντελοποιείται με το επόμενο σύστημα:
{x+y=τ και xy=E} .
- Ανοίξτε το διακόπτη "q(x)". Η παραβολή που εικονίζεται αφορά στη γραφική παράσταση του τριωνύμου που προκύπτει από το προηγούμενο σύστημα.
- Πειραματιστείτε για διάφορες τιμές του τ.
- Τί φαίνεται να ισχύει για τις σχετικές θέσεις της παραβολής q(x) με τον άξονα xx΄;
- Πώς ερμηνεύεται αλγεβρικά το προηγούμενο;
- Αξιοποιήστε τα προηγούμενα για να αποδείξετε την εικασία σας στα προηγούμενα.
Απάντηση:
Επέκταση δραστηριότητας
Ανοίξτε το διακόπτη "Σύστημα". Εμφανίζεται η ευθεία x+y=τ και η γραφική παράσταση της υπερβολής
- Πειραματιστείτε για διάφορες τιμές του τ.
- Τί φαίνεται να ισχύει για τις σχετικές θέσεις της ευθείας και της υπερβολής;
- Τί συμβαίνει στην περίπτωση που ελαχιστοποιείται το τ;
- Tί θα μπορούσαμε να ορίσουμε ως "απόσταση ενός σημείου από μία υπερβολή ή γενικότερα από μία κωνική τομή";