Kurven 2
Unter welcher Bedingung sind Berührgeraden Tangenten einer Kurve auf der Möbiusquadrik?
Die Antwort stellt einen Zusammenhang zwischen den Berührgeradenvektoren und den Tangentialvektoren der Möbiusebene dar.
Eine genügend oft differenzierbare Kurve von Berührgeradenvektoren - für die also
gilt - ist dann tangential an die Kurve der Berührpunkte, wenn gilt, dh. repräsentiert eine Schnittgerade, welche die Möbiusquadrik in (wegen ) und einem weiteren Punkt schneidet.
Die Tangente und die Schnittgerade liegen in einer Ebene, welche die Möbiusquadrik im Schmiegkeis der Kurve an der besagten Stelle schneidet.
Für die Begründung nehmen wir das Kugelmodell und die Grassmann-Algebra zu Hilfe:
Es sei eine nirgends stationäre, genügend oft differenzierbare Kurve auf der Möbiusquadrik. Nicht stationär bedeutet, dass der zu gehörende Punkt außerhalb der Möbiusquadrik liegt: . Für die Berührgerade und Tangente gilt dann und , wegen und .
Fazit Tangentenbedingung: Eine genügend oft differenzierbare, nirgends stationäre Kurve von Berührgeraden ist dann und nur dann tangential an die Kurve der Berührpunkte, wenn gilt.
Ableitungsgleichungen und begleitende Bewegungen einer Kurve oder einer Funktion
Für eine Kurve von Berührgeraden auf der Möbiusquadrik gelte die Tangentenbedingung . Hierbei sind zugelassen und ausreichende Differenzierbarkeits-bedingungen sind vorausgesetzt.
Dann läßt sich die Skalierung und das Vorzeichen so wählen, dass gilt.
Wir ergänzen zu einer euklidischen Basis:
- .