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Kurven 2

ForfatterWalter Füchte
Unter welcher Bedingung sind Berührgeraden Tangenten einer Kurve auf der Möbiusquadrik? Die Antwort stellt einen Zusammenhang zwischen den Berührgeradenvektoren und den Tangentialvektoren der Möbiusebene dar. Eine genügend oft differenzierbare Kurve von Berührgeradenvektoren - für die also gilt - ist dann tangential an die Kurve der Berührpunkte, wenn gilt, dh. repräsentiert eine Schnittgerade, welche die Möbiusquadrik in (wegen ) und einem weiteren Punkt schneidet. Die Tangente und die Schnittgerade liegen in einer Ebene, welche die Möbiusquadrik im Schmiegkeis der Kurve an der besagten Stelle schneidet. Für die Begründung nehmen wir das Kugelmodell und die Grassmann-Algebra zu Hilfe: Es sei eine nirgends stationäre, genügend oft differenzierbare Kurve auf der Möbiusquadrik. Nicht stationär bedeutet, dass der zu gehörende Punkt außerhalb der Möbiusquadrik liegt: . Für die Berührgerade und Tangente gilt dann und , wegen und . Fazit Tangentenbedingung: Eine genügend oft differenzierbare, nirgends stationäre Kurve von Berührgeraden ist dann und nur dann tangential an die Kurve der Berührpunkte, wenn gilt.

Ableitungsgleichungen und begleitende Bewegungen einer Kurve oder einer Funktion

Für eine Kurve von Berührgeraden auf der Möbiusquadrik gelte die Tangentenbedingung . Hierbei sind zugelassen und ausreichende Differenzierbarkeits-bedingungen sind vorausgesetzt. Dann läßt sich die Skalierung und das Vorzeichen so wählen, dass gilt. Wir ergänzen zu einer euklidischen Basis:
  • .
und nennen diese Basis das begleitende Bezugssystem der Kurve. Wegen gelten die Ableitungsgleichungen:
Die komplex-wertige Funktion heißt die "natürliche Funktion" der Kurve, das Vorzeichen "-" hat historische Gründe, ist für Kurven oder analytische Funktionen in der Gaussschen Zahlenebene die Schwarzsche Ableitung (siehe 6.4). Die Kurve in der LIE-Algebra heißt die begleitende infinitesimale Bewegung der Kurve, der Name erklärt sich aus dem Verhalten
Es sei irgendeine feste euklidische Basis vorgegeben. Dann gibt es zu der gegebenen Kurve genau eine Kurve von gleichsinnigen Möbiusabbildungen, also eine Kurve , welche das vorgegebene euklidische KOS entlang der Kurve mitbewegt. nennen wir begleitende Bewegung der Kurve, eine solche ist bei vorgegebener Parametrisierung der Kurve bis auf konstante Rechtsmultiplikationen eindeutig bestimmt. Die Abbildungen sind schief bezüglich der quadratischen Form, dh. sie liegen in der LIE-Algebra und wir können identifizieren , wobei definiert wird . Eine vorgebene natürliche Funktion bestimmt bis auf konstante Möbiustransformationen eine Kurve in der Möbiusebene. Ist die natürliche Funktion konstant: , so ist die Kurve eine W-Kurve, wie zB. die im obigen Applet angezeigte logarithmische Spirale mit der Gleichung . Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

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