Poliedros
Elementos de um Poliedro:
- Faces: São os polígonos planos que limitam o sólido.
- Arestas: Resultam da intersecção entre duas faces.
- Vértices: São os pontos de encontro de três ou mais arestas.
- Convexos ou Não Convexos.
- Regulares (quando todas as faces e ângulos são iguais) ou Irregulares.
Poliedros regulares: os sólidos de Platão
Os sólidos de Platão são os cinco poliedros regulares convexos que possuem faces formadas por polígonos regulares idênticos, arestas de mesmo comprimento e ângulos iguais. Eles são considerados “sólidos perfeitos” porque cada vértice conecta o mesmo número de faces e arestas.
- Tetraedro: 4 vértices, 4 faces triangulares, 6 arestas.
- Hexaedro (cubo): 8 vértices, 6 faces quadradas, 12 arestas.
- Octaedro: 6 vértices, 8 faces triangulares, 12 arestas.
- Dodecaedro: 20 vértices, 12 faces pentagonais, 30 arestas.
- Icosaedro: 12 vértices, 20 faces triangulares, 30 arestas.
Veja alguns exemplos de Poliedros regulares, ao lado esquerdo temos os controles deslizantes para visualizar sua planificação.
São sólidos cujas faces são polígonos diferentes entre si, sem a simetria perfeita dos sólidos de Platão. Eles variam em forma e número de faces, sendo classificados conforme os tipos de polígonos que os compõem
Os poliedros irregulares mais conhecidos são:- Tetraedro irregular: 4 faces distintas.
- Tetraedro triretangular: 3 triângulos retângulos que compartilham o mesmo vértice.
- Tetraedro isofacial: base em triângulo retângulo + 3 triângulos isósceles iguais.
- Pentaedro: 5 faces irregulares.
- Hexaedro: 6 faces diferentes.
- Heptaedro: 7 faces irregulares.
- Octaedro: 8 faces distintas.
Poliedro convexo e não convexo
Os poliedros podem ser classificados em convexos e não convexos.
- Convexos: qualquer segmento de reta entre dois pontos internos permanece totalmente dentro do sólido. Exemplos: cubo (verde), tetraedro (vermelho) e icosaedro (roxo).
- Não convexos: existem segmentos que atravessam o poliedro sem ficarem totalmente contidos em seu interior. Exemplos: os poliedros laranja, rosa e verde claro citados.
Exemplo:
Ainda com duvidas? Veja abaixo mais uma explicação.
Relação de Euler
Existe uma relação importante que envolve o número de faces , o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo. Essa relação é válida para todo poliedro convexo e recebe o nome de relação de Euler, em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783).
Veja alguns exemplos:
A relação de Euler pode ser empregada para determinar o número de um dos elementos (faces, arestas ou vértices) de um poliedro convexo, desde que os outros dois sejam conhecidos. Um poliedro em que é válida a relação de Euler é conhecido como poliedro euleriano. Os poliedros convexos são todos eulerianos. Sendo assim, em todo poliedro convexo vale a relação .
Observação:
Há poliedros não convexos para os quais vale a relação de Euler. Na figura, temos um exemplo.
1) O que é um poliedro?
2) Um poliedro é considerado convexo quando:?
3) Quais e quantos são os sólidos de Platão?
Marque a alternativa correta.