2.3 Taxas: Introdução
TAXAS EQUIVALENTES
Taxas equivalentes são taxas de periodicidades diferentes, que, num mesmo tempo, produzem o mesmo montante.
Exemplo: Considere a evolução de um capital R$1.000 à taxa de 10% ao mês e outro capital de R$1.000 à taxa de 21% ao bimestre.
Temos: 1.000 x (1,10)2 = 1.000 x 1,21 = 1.210.
A taxa de 10% a.m. e de 21% a.b. resultam em montantes iguais em dois meses.
A taxa de 10% a.m. equivale à taxa de 21% a.b.
Para determinar a taxa para um período t equivalente a uma taxa dada para período p temos:
Período 1/p : (1+ i1/p) = (1+ ip)1/p
Período t/p: (1+ it/p)= [(1+ ip)1/p]t -> (1+ it/p)= (1+ ip)t/p -> it/p = (1+ ip)t/p - 1
Mais exemplos a seguir.
TAXAS PROPORCIONAIS
A mudança da periodicidade da taxa de juros para obter a taxa equivalente em outra periodicidade (anual para mensal, mensal para diária, etc.) é complexa devido à operação de composição. Em certos casos essa mudança pode ser efetuada de forma proporcional ao tempo com resultado aproximado. Em uma situação concreta, vejamos os dois procedimentos.
Exemplo: Para a taxa de juros de 96% ao ano, vejamos as taxas equivalente e proporcional nas periodicidades.
_ Para 2 anos. Equivalente: [(1,96)2 – 1] x 100 = 284,16% Proporcional: 96% × 2 = 192%.
_ Para 3 anos. Equivalente: [(1,96)3 – 1] x 100 = 653% Proporcional: 96% × 3 = 288%.
_ Para 1/2 ano. Equivalente: [(1,96)1/2 – 1] x 100 = 40% Proporcional: 96% ÷ 2 = 48%.
_ Para 1 mês. Equivalente: [(1,96)1/12 – 1] x 100 = 5,77% Proporcional: 96% ÷ 12 = 8%.
De forma geral, a taxa para um tempo t, proporcional a uma taxa i, é o produto it (i e t na mesma unidade de tempo).
TAXA NOMINAL
A Taxa efetiva determina os juros em um período. A Taxa nominal é uma taxa proporcional à taxa efetiva.
Dada uma taxa nominal em um período, obtemos a taxa efetiva em outro período de forma proporcional. Esse novo período é denominado período de capitalização da taxa nominal.
Exemplo: Para a taxa nominal de 120% ao ano, temos
Para capitalização semestral. Efetiva: 120 ÷ 2 = 60% a.s.
Para capitalização bimestral. Efetiva: 120 ÷ 6 = 20% a.b.
Para capitalização mensal. Efetiva: 120 ÷ 12 = 10% a.m.
A partir da taxa nominal de 120% ao ano, vamos comparar as taxas efetivas obtidas para períodos de capitalizações diferentes através de suas taxas equivalentes anuais.
Capitalização semestral. Efetiva = 60% a.s. Efetiva anual: [(1,60)2 - 1]×100 -> 156% a.a.
Capitalização bimestral. Efetiva = 20% a.b. Efetiva anual: [(1,20)12/2 - 1]×100 -> 198,6% a.a.
Capitalização mensal. Efetiva = 10% a.m. Efetiva anual: [(1,10)12 - 1]×100 -> 213,8% a.a.
Na prática, o uso da taxa nominal tem como finalidade única não informar diretamente a taxa efetiva.
*conteúdo adaptado do livro "Matemática Financeria: concursos", do professor Lineu Marzagão e de apostilas entregues às turmas de 2º ano do Coltec em 2020.
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