La Bisettrice
La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.
DIMOSTRAZIONI:
DIMOSTRAZIONE N.1: Tutti i punti della bisettrice sono equidistanti dai lati
Dobbiamo dimostrare che, se un punto P appartiene alla bisettrice, allora è equidistante dai lati.
Individuiamo sui due lati i punti Q e R tali che PQ e PR siano le distanze del punto P dai due lati.
I triangoli rettangoli PVQ e PVR hanno:
• PV in comune;
• QVP PVR Perché PV è bisettrice di QVR.
Sono perciò congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
In particolare, PQ PR.
P è allora equidistante da VQ e VR.
DIMOSTRAZIONE N.2: Solo i punti della bisettrice sono equidistanti dai lati
Dobbiamo dimostrare che, se un punto P è equidistante dai lati, allora appartiene alla bisettrice.
I triangoli rettangoli PVQ e PVR hanno:
• PV in comune;
• PQ PR per ipotesi.
Sono perciò congruenti per il quarto criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
In particolare, QVP PVR.
P è allora un punto appartenente alla bisettrice.