Brennpunkt? Leitlinie?
- Autor:
- Walter Füchte
- Thema:
- Kreis, Kegelschnitte, Parabel, Ebene Figuren, Spiegelung
parabola
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
Oben/unten sind Beispiele für das Vorkommen von Brennpunkten und Leitlinien angezeigt. Parabeln besitzen einen (endlichen) Brennpunkt und eine Leitgerade. Möbiusgeometrisch (d.h. wenn man für die Figuren Inversionen an Kreisen zuläßt), besitzt eine solche Kurve einen einfachen und einen dreifachen Brennpunkt; rechts ist der dreifache Brennpunkt . Das Cartesische Oval besitzt 4 einfache Brennpunkte, einer liegt in . Zeichnet man einen der Brennpunkte aus, so kann man die Kurve auf 3 verschiedene Arten mit Hilfe von 3 Leitkreisen konstruieren. Was ist diesen Beispielen gemeinsam? In allen Fällen, die wir anführen, gehören die Kurven zu einem System konfokaler Kurven mit den vorgegebenen Brennpunkten. Durch jeden Punkt der Ebene , von den Brennpunkten abgesehen, gehen genau 2 orthogonale Kurven. Die Kurven sind für geeignetes Lösungskurven einer elliptischen Differentialgleichung des Typs- mit den Brennpunkten .
Je nach der Anzahl der verschiedenen Brennpunkte kann man diese auf verschiedene Arten aufteilen in 2 Punkte-Paare,
die als Grundpunkte zweier elliptischen Kreisbüschel dienen.
Durch jeden Punkt der Ebene , von den Brennpunkten abgesehen, geht aus jedem Kreisbüschel genau ein Kreis.
Die Lösungskurven der obigen elliptischen Differentialgleichung sind Winkelhalbierende dieser Kreise.
Ist die absolute Invariante der 4 Brennpunkte reell, so sind für geeignete die Lösungskurven bizirkulare Quartiken.
Es ergeben sich unter dieser Voraussetzung folgende Fälle:
- 1 einfacher, 1 dreifacher Brennpunkt: konfokale Parabeln und ihre möbiusgeometrischen Bilder.
- 2 einfache, 1 doppelt-zählender Brennpunkt: konfokale Ellipsen/Hyperbeln und ihre möbiusgeometrischen Bilder.
- 2 doppelt-zählende Brennpunkte oder 1 vierfach-zählender Brennpunkt: ein Kreisbüschel, die Grundpunkte können als Brennpunkte angesehen werden!
- 2 verschiedene Brennpunkt-Paare, spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegend: konfokale 1-teilige Quartiken.
- 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte: konfokale 2-teilige bizirkulare Quartiken, zB Cartesische Ovale.
cartesian oval
Sind die 4 Brennpunkte verschieden, so ist die Lösung der elliptischen Differentialgleichung
eine meromorphe doppelt periodische Funktion.
Ist die absolute Invariante n i c h t reell, so gibt es geschlossenen Lösungskurven, welche sich allerdings
nicht orthogonal schneiden. Über diese Kurven ist uns nichts bekannt. Die Lösung besitzt keine Kreis-Symmetrie!
In den oben aufgezählten Fällen jedoch gibt es mindestens eine Kreis-Symmetrie.
Die 4 Brennpunkte werden in 2 Punktepaare zerlegt, die als Grundpunkte zweier Kreisbüschel dienen.
Die absolute Invariante zweier Kreisbüschel ist genau dann reell, wenn diese Kreisbüschel einen gemeinsamen Kreis besitzen.
Konstruktion der bizirkularen Lösungskurven:
Ein Grundpunkt (Brennpunkt) f des Kreisbüschels wird ausgezeichnet.
Für das andere Kreisbüschel ist jeder Kreis des dazu orthogonalen Kreisbüschels Leitkreis einer Lösungskurve.
Durch einen Punkt q auf geht genau ein Kreis (Brennkreis) aus , der Brennkreis schneidet den Leitkreis orthogonal.
Den zugehörigen Brennkreis aus konstruieren wir wie folgt: der Kreis berühre den Leitkreis in q und gehe durch f.
Der gesuchte Brennkreis aus dem Büschel schneidet den Berührkreis orthogonal.
Die Schnittpunkte der Brennkreise sind Punkte der Lösungskurve.
Einer der winkelhalbierenden Kreise der beiden Brennkreise ist tangential an die Lösungskurve, der andere
winkelhalbierende Kreis ist orthogonal zur Lösungskurve und tangential an die orthogonale Lösungskurve.
Der Tangentialkreis berührt die Lösungskurve doppelt.
Die Spiegelung an diesem doppelt-berührenden Kreis vertauscht die beiden Brennkreise, und spiegelt f nach q.
Diese Eigenschaft ist allen bizirkularen Quartiken eigen!
Für Kegelschnitte sind die Tangenten doppelt-berührende Kreise: sie gehen durch , welcher Brennpunkt
und Kurvenpunkt in einem ist!
Das Applet oben gibt eine Übersicht über den Typ der bizirkularen Quartiken in Abhängigkeit
von der Anzahl und Lage der Brennpunkte.
In jedem Falle wird die "Konstruktion" der Quartik und der doppelt-berührenden Kreise mit
der stets gleichen Konstruktionsvorschrift angezeigt.
Der ausgewählte Brennpunkt ist stets f.