Problème des poignées de mains
- Auteur :
- Vincent Pantaloni
- Thème :
- Arithmétique, Suites et Séries
Sept personnes. Chacun serre la main à toutes les aux autres personnes. Combien de poignées de main y aura-t-il ?
Suggestion de présentation
On cherche le nombre de poignées de mains entre ces 7 personnes. (En cette période de crise sanitaire, il n'est pas recommandé de se serrer les mains, mais bon...)
Les 7 personnes sont représentées par des points de couleur, de A à F.
Chaque poignée de mains entre deux personnes peut être représentée par un segment joignant les deux points correspondants. On cherche donc le nombre de segments dans cette figure.
- On monte le curseur d'un cran.
C'est à dire le nombre de côtés et diagonales de ce polygone (ici à 7 sommets).
On va les compter de deux manières:
- On monte le curseur d'un cran.
La personne A (en rouge) sert la main aux 6 autres personnes.
- On monte le curseur d'un cran.
La personne B (en violet) sert la main aux 5 autres personnes.
- On monte le curseur d'un cran.
La personne C (en jaune) sert la main aux 4 autres personnes.
etc.
- On monte le curseur jusqu'à avoir tout colorié (avant dernier cran).
La dernière personne n'a rien à faire, tout le monde lui a serré la main (on pourrait ajouter +0)
Ainsi le nombre cherché est la somme 6+5+4+3+2+1.
- On monte le curseur d'un cran. Tout les segments sont à nouveau gris.
On aurait pu compter le nombre de poignées de mains autrement :
Tout le monde fait comme la personne A, c'est à dire serre la main aux 6 autres personnes. On compterait alors 7x6 poignées de mains. Mais en faisant cela, on compte exactement deux fois chaque poignée de main ! Quand A serre la main à B et quand B serre la main à A et de même pour chaque poignée de main. Il faut donc diviser ce nombre par deux.
Le raisonnement se généralise pour un nombre entier n quelconque (supérieur à 2):
La même formule au rang suivant donne pour tout entier naturel n supérieur à 1 :