Ejercicio 3.

83. En dos fábricas A y B, que producen camisas para hombre, se sabe que el 17% y 15% de la producción es defectuosa. Si se extrae una muestra de 200 camisas de cada lote producido en las fábricas, ¿Cuál es la probabilidad de que las dos muestras revelen

Datos del enunciado.- Fábrica A: Proporción de defectuosas: pA​=0.17 Fábrica B: Proporción de defectuosas: pB​=0.15 Tamaño de muestra en cada fábrica: n=200 Queremos calcular la probabilidad de que la diferencia muestral en proporciones defectuosas sea mayor a 3%, es decir: P(∣p^​A​−p^​B​∣>0.03) 1. Distribución de la diferencia entre proporciones muestrales.- Distribuciones de las proporciones muestrales  Y la diferencia: Tiene una distribución aproximadamente normal (por el teorema del límite central), con:  Calculamos las varianzas: Por lo tanto, la varianza conjunta: Var(D)≈0.0007055+0.0006375=0.001343 Y la desviación estándar: σD​=0.001343​=0.0366 2. Calcular la probabilidad solicitada.- Queremos calcular: P(∣D−0.02∣>0.03) Esto equivale a: P(D<0.02−0.03)+P(D>0.02+0.03)=P(D<−0.01)+P(D>0.05) Convertimos a la variable normal estándar: Para D<−0.01: Para D>0.05: Por la simetría de la distribución normal: P(∣D−0.02∣>0.03)≈P(Z<−0.82)+P(Z>0.82) Usando tablas de la normal estándar: P(Z<−0.82)=0.2061P(Z>0.82)=0.2061 Por lo Tanto: P(∣D−0.02∣>0.03)=0.2061+0.2061=0.4122 Respuesta.- La probabilidad de que las dos muestras revelen una diferencia superior al 3% es aproximadamente 41.22%.