Das Integral in Diagrammen
Kurzinformation
- Thema: Integralrechnung
- 12. Schulstufe, Mathematik
- Dauer: 3 Unterrichtseinheiten
- SchülerInnenmaterial
- LehrerInnenmaterial (inkl. Lösungen)
Vorwissen und Voraussetzungen
Die SchülerInnen können ...
- einfache Flächen berechnen
- mit Funktionen umgehen (Funktionswerte ablesen und berechnen, Graphen interpretieren)
- den Begriff der Ableitungsfunktion mit dem Begriff der Steigung in Zusammenhang bringen
- mit GeoGebra arbeiten (Funktionen zeichnen, Schieberegler einfügen, mit vorgefertigten Applets arbeiten)
Lernergebnisse und Kompetenzen
Die SchülerInnen ...
- kennen den Begriff der Flächeninhaltsfunktion
- können die Flächeninhaltsfunktion einer gegebenen Funktion zeichnen
- entwickeln ein Verständnis des Integralbegriffs
- kennen die Problematik der Berechnung von krummlinig begrenzten Flächen
- können Ober- und Untersummen charakterisieren
- können Flächeninhalte näherungsweise mit Ober- und Untersummen berechnen
Unterrichtsablauf
Zum Einstieg werden die Schülerinnen und Schüler eine Aufgabenstellung, die die Notwendigkeit der Integralrechnung verdeutlichen soll, mit der Methode "Ich-Du-Wir" bearbeiten. Im Anschluss wird in Einzelarbeit ein Arbeitsblatt bearbeitet, das schrittweise und systematisch auf den Begriff der Flächeninhaltsfunktion hinführt. Nach der Erarbeitung der Flächeninhaltsfunktionen wird mithilfe eines Applets beobachtet, welche Auswirkungen das Variieren von Intervallgrenzen auf den orientierten Flächeninhalt hat. In weiterer Folge werden in einem Anwendungskontext die Auswirkungen von Knicke, Sprungstellen und konstanten Abschnitten auf die Flächeninhaltsfunktion untersucht, bevor der erste Themenblock mit einer Übung abgeschlossen wird. Anschließend werden Ober- und Untersummen behandelt, zu denen es zuerst im Plenum eine kurze Einführung geben wird, bevor die Schülerinnen und Schüler dazu selbst mithilfe von GeoGebra Aufgabenstellungen bearbeiten und weitere Beispiele üben.
Aktivität 1 - Einstieg in die Integralrechnung (20 min)
Das nachfolgende Arbeitsblatt erhalten die Schülerinnen und Schüler ausgedruckt.
Bearbeitet wird das Beispiel mit der Methode "Ich-Du-Wir". D. h. im ersten Schritt überlegt zunächst jeder und jede für sich mögliche Lösungen. Im Anschluss werden die Ideen mit einem Partner ausgetauscht und besprochen. In der "Wir-Phase" werden die Lösungen der Paare im Plenum besprochen.
Im Beispiel sollen von den Schülerinnen und Schülern Methoden zur Abschätzung des Wasserverbrauchs gefunden werden. Vermutlich werden alle gefundenen Lösungen in gewisse Weise der Fläche unter der Kurve entsprechen (z. B. Mittelwert des Wasserverbrauchs mal Zeitdauer). Dieser Aspekt sollte bei der Besprechung im Plenum angesprochen werden.
Den Lernenden soll dieses Einstiegsbeispiel verdeutlichen, dass oftmals gekrümmte Funktionen vorliegen, bei denen man den Flächeninhalt nicht durch einfache Formeln berechnen kann. An dieser Stelle sollte auch darauf hingewiesen werden, dass im weiteren Unterrichtsverlauf mit der Integralrechnung eine Möglichkeit zur exakten Berechnung solcher Flächeninhalte gelernt wird.
Lösungsmöglichkeit der Aufgabe
Aktivität 2 - Erarbeitung: Flächeninhaltsfunktionen (30 min)
Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten nun selbstständig in Einzelarbeit den Begriff der Flächeninhaltsfunktion durch Bearbeiten des nachfolgenden Arbeitsblattes.
Dabei werden systematisch, beginnend bei der linearen Funktion über stückweise lineare Funktionen bis hin zur quadratischen Funktion, die Flächeninhaltsfunktionen gezeichnet, indem die Schülerinnen und Schüler mit bereits bekannten Formeln (Fläche von Rechtecken und Dreiecken) die Funktionswerte der Flächeninhaltsfunktionen berechnen.
Bei der abschließenden quadratischen Funktion gilt es, den Flächeninhalt z. B. durch Abzählen der Kästchen abzuschätzen.
Eine Kontrolle der Lösungen erfolgt durch Besprechung im Plenum oder durch selbstständige Kontrolle mit der Musterlösung.
Lösung zum Erarbeitungsblatt
Aktivität 3 - Variable Intervallgrenzen (15 min)
Die Schülerinnen und Schüler ermitteln in Partnerarbeit an einer gegebenen Funktion (siehe nachfolgendes Arbeitsblatt), wie sich der orientierte Flächeninhalt ändert, wenn die Intervallgrenzen variiert werden. Anhand eines GeoGebra-Applets können sie ihre Vermutungen dynamisch überprüfen.
Ziel dabei ist es, zu erkennen, dass eine fallende Funktion im Allgemeinen nicht eine Verringerung des orientierten Flächeninhalts bedeutet. Die Fragestellung, "Wie ändert sich der orientierte Flächeninhalt, wenn die Intervallgrenzen variiert werden?" thematisiert zudem das Konzept der Änderungsrate, wodurch in gewissem Maße auch ein Bezug zur Differentialrechnung hergestellt wird.
Lösung zur Aufgabe
Aktivität 4 - Knicke, Sprungstellen und konstante Abschnitte (15 min)
Die Schülerinnen und Schüler sollen durch dynamische Betrachtung einer Wasserzuflussfunktion in eine Wanne in einem GeoGebra-Applet herausfinden, wie sich Knicke, Sprungstellen und konstante Abschnitte dieser Funktion auf den Wasserbestand in der Wanne auswirken.
Die Lernenden überprüfen ihre Beobachtungen durch Multiple-Choice-Fragen.
In Mittelpunkt dieser Aktivität sollen Knicke, Sprungstellen und konstante Abschnitte stehen, es wird aber auch thematisiert, wie sich die Änderung der Wasserzuflussfunktion auf den Bestand der Wassermenge auswirkt.
Aktivität 5 - Übung: Flächeninhaltsfunktion zu einem komplizierteren Graphen (25 min)
Das nachfolgende Arbeitsblatt wird den Schülerinnen und Schülern ausgedruckt. Die Lernenden sollen dabei in Einzelarbeit das Gelernte über die Flächeninhaltsfunktionen anwenden und üben.
Da die Erarbeitungsphase selbstständig erfolgte, sollte sichergestellt werden, dass sich die Schülerinnen und Schüler keine falschen Vorstellungen eingelernt haben. Dies soll durch dieses Übungsbeispiel sichergestellt werden.
Da das Beispiel viele möglichen Schwierigkeiten beim Zeichnen der Flächeninhaltsfunktion enthält (Knicke, Sprungstellen, konstante Abschnitte, negative Funktionswerte, unterschiedliche Steigungen, usw.), dient es besonders dazu, Fehlvorstellungen im Konzept der Flächeninhaltsfunktionen aufzudecken.
Nach dem Bearbeiten des Beispiels werden die Lösungen der Lernenden im Plenum verglichen und mögliche Fehlvorstellungen diskutiert und beseitigt.
Lösung zur Aufgabe
Aktivität 6 - Einstieg: Ober- und Untersummen (5 min)
Zum Einstieg soll nun im Plenum das Problem der Berechnung von krummlinig begrenzten Flächen angesprochen werden.
Es kann hier auf das letzte Beispiel im Erarbeitungsblatt der Flächeninhaltsfunktionen verwiesen werden (Abschätzung der Fläche unter der Funktion ). Die Abschätzung dieser Fläche erfolgte graphisch durch Abzählen von Kästchen. Nun soll eine Möglichkeit gefunden werden, die Fläche näherungsweise zu berechnen.
Zur Eröffnung einer Diskussion könnte die Lehrperson die Frage stellen, wie man die Fläche unter krummlinigen Funktionen berechnen könnte.
Um den Schülerinnen und Schüler einen kleinen Denkanstoß zu geben, kann hier auch auf das Einstiegsbeispiel ganz zu Beginn des Themas (Wasserverbrauch während einer Fußballübertragung) verwiesen werden. Dort mussten die Schülerinnen und Schüler ja bereits Möglichkeiten zur Abschätzung finden.
Die Ideen der Schülerinnen und Schüler werden diskutiert und in Richtung Berechnung durch Ober- und Untersummen hingeführt. Dies soll nun das Thema der Einheit sein.
Tatsächlich gibt es zur näherungsweisen Berechnung mehrere Möglichkeiten (Näherung durch Ober- und Untersumme, Näherung durch Trapeze, Simpsonregel, ...), die auch angesprochen werden können.
Aktivität 7 - Arbeitsblatt: Ober- und Untersummen (20 min)
Den Schülerinnen und Schülern wird das nachfolgende Arbeitsblatt ausgedruckt.
In Partnerarbeit sollen die Lernenden nun mithilfe des GeoGebra-Applets "Ober- und Untersummen" Beobachtungen machen und dadurch das Arbeitsblatt bearbeiten. Dieses thematisiert anhand von konkreten Beispielen, was die Ober- und Untersumme ist und welche Eigenschaften die Folgen der Ober- und Untersummen besitzen. Zentral ist bei der Bearbeitung des Arbeitsblattes die dynamische Veränderung der Anzahl der Unterteilungen.
Lösung des Arbeitsblattes
Aktivität 8 - Übungen: Ober und Untersummen (25 min)
Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten die nachfolgenden Aufgaben zu den Ober- und Untersummen.
Dabei werden sie u. a. Ober- und Untersummen per Hand, als auch mit GeoGebra berechnen.
Sollte nur noch ein Teil der Übungen im Unterricht erledigt werden können, so kann der Rest als Hausübung aufgegeben werden.
Lösungen zu den Übungsbeispielen
Sicherung / Hausübung
Als Sicherung dienen die bearbeiteten Arbeitsblätter in ausgedruckter Form.
Diese werden entweder miteinander im Plenum oder von den Schülerinnen und Schülern selbstständig mit der Musterlösung verglichen.
Sollte im Unterricht für die Übungen keine oder zu wenig Zeit bleiben, so sind Aktivität 5 und 8 als Hausübung vorgesehen.
Überprüfen des Lernerfolgs
Der Lernerfolg kann zum Teil direkt beim Bearbeiten der Materialien anhand der verwendeten GeoGebra-Applets überprüft werden (Aktivität 3, 4 und 7) und andererseits durch die Übungen, die im Anschluss besprochen werden (Aktivität 5 und 8). Besonders das Beispiel in Aktivität 5 dient zur Überprüfung des konzeptuellen Verständnisses zu den Flächeninhaltsfunktionen.
Links zu Materialien und Quellen
Unterrichtsmaterialien:
SchülerInnenmaterial
LehrerInnenmaterial
weiterführende Materialien:
Einführung in die Integralrechnung (Austromath)
Allgemeine Notation von Ober- und Untersummen (lineare Fkt.)
Allgemeine Notation von Ober- und Untersummen (quadratische Fkt.)
Quellen:
Mathematik lehren, Heft 218 (2020), Graphisch in die Analysis
Mathematik verstehen 8, oebv
www.lehrer-online.de