Alignement avec le sommet d'un triangle

ABC est un triangle.[br]O un point de (BC).[br][br]Par B et C, on trace deux droites d1 et d2 parallèles.[br]La parallèle à (AC) passant par O coupe d1 en I et la parallèle à (AB) passant par O coupe d2 en J.[br][br]But du problème : montrer que A, I et J sont alignés.
[i]Démonstration par les angles inscrits[/i][br][br]Par parallélisme des côtés : IOJ = BAC = α.[br]Soit les cercles circonscrits à IOB et JOC qui se recoupent en K.[br][br]Étudions les angles inscrits qui interceptent [OK] :[br]OIK = OBK et OJB = OCK, d'où OIK + OJK = OBK + OCK.[br][br]Les suppléments de ces sommes sont égaux, donc BKC = IOJ = α.[br]K est donc situé sur le cercle circonscrit à ABC.[br]Dans ce cercle, on a l'égalité des angles inscrits : ABK = ACK.[br][br]Montrons que K est aligné avec I et J, en calculant l'angle IKJ :[br]IKJ = IKB + BAC + CAJ = BOI + α + JOC = 180°, car B, O et C sont alignés.[br][br]Terminons en montrant que A est aligné avec I et J, en calculant l'angle IAJ, en passant par la somme des angles de divers triangles :[br]IAJ = IAB + α + CAJ = 180° – (AIB + IBA) + α + 180° – (AJC + ACJ).[br][br]En ajoutant et retranchant les angles ABK = ACK :[br]IAJ = 180° – (AIB + IBA + ABK) + α + 180° – (AJC + ACJ – ACK).[br]= 180° – (AIB + IBK) + α + 180° – (KJC + JCK).[br][br]D'où IAJ = IKB + BKC + CKJ = 180° : I, A et J sont alignés.[br][br]Descartes et les Mathématiques : [url=http://debart.pagesperso-orange.fr/seconde/montrer_alignement.html][color=#0066cc]montrer des alignements[/color][/url][br]Voir une autre démonstration, par l'absurde, avec le [url=https://www.geogebra.org/m/PUufQpFN]petit théorème de Pappus[/url]

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