Geometría hiperbólica con Geogebra

Autor:
José Luis García Heras
Tema:
Geometría

Elementos geométricos, medidas y acción de las isometrías del plano hiperbólico en el Disco de Poincaré

Siendo X, Y matrices de traza 0 y determinante 0, 1 ó -1 (A es un punto si det A= 1; U es un punto impropio: det U = 0: N es el vector normal a una geodésica si det N = -1):
  1. El producto exterior X ∧ Y (normalizado) es una matriz asociada a una geodésica o un punto, propio o impropio, según que el determinante de la matriz sea -1, 1 ó 0.
  2. El producto escalar <X,Y>,, X≠Y, es igual a ±cosh δ ó cos θ (δ una distancia, θ un ángulo),según que |<X,Y>| > 1 ó |<X,Y>|≤1
"Ángulo dos geodésicas" (Grupo 3) y "Bisectriz" (Grupo 7): punto de g1, vértice, punto de g2. Herramientas del Grupo 7 (excepto "Bisectriz"): dos puntos de cada geodésica (y, en algunos casos, otro punto). Con los elementos dados en la vista algebraica pueden utilizarse otras Herramientas: "Punto propio o impropio" (Grupo 3): Elegir la lista LP ó la lista LU (Borrar el resultado) Punto propio: Lista LP = {1, a11, a21} (a21>0). Punto impropio: LU = {0, a11, a21} (a21≥0). "Geodésica orientada" (Grupo 3): Elegir la lista LGd1. Elegir la lista LG2, Elegir la lista LG3 (Dejar el deslizador n en -1) Lista de una geodésica: LG = {n, n12, n21} (n = 1 ó -1, n12 n21 ≤ 1). "Punto común a dos geodésicas (secantes o paralelas)" (Grupo 3): Elegir listas LGd1 y LGd2; Elegir listas LGd2 y LGd3 (Borrar el resultado) Herramientas del Grupo 4 y del Grupo 6: Elegir dos puntos (Borrar el resultado) Herramientas del Grupo 5: Elegir tres puntos   (Borrar cada vez el resultado) Algunas herramientas del Grupo 9: Isometrías: Lista {k, f11, f21} (f21≠0), (|k|=2, traslación paralela; |k|>2, traslación; 0≤|k|<2, giro) La transformación inversa viene dada por la lista {k, k-f11, -f21}. "Elementos invariantes por una isometría": Elegir lista f y el número p (mover el deslizador k, detenerlo en 2 y -2; mover el deslizador p) (Borrar resultado) "Eje y desplazamiento de una reflexión (kf=0) o una reflexión sesgada": Elegir lista h (si se cambia h1 de la lista por 0 es una reflexión) (Borrar resultado) Lista de una reflexión sesgada RS = {kh, h12, h21} (h12 h21≤1). Si kh=0 corresponde a una reflexión en una geodésica. "f*(P) y Eje de f* [f* reflexión (kf=0) ó reflexión sesgada": Elegir lista h, punto A y número m (mover el deslizador m) (Borrar resultado) "Giro de una geodésica": Elegir lista "giro", lista LGd1, número p (mover el deslizador p); puede obtenerse el centro del giro mediante "Elementos invariantes por una isometría" (Borrar resultado) Herramientas del Grupo 10 (Isometría que transforma una geodésica en otra): elegir dos puntos "ordenados" de cada geodésica. IsomGeodGeod (1) proporciona "la lista" de la transformación, que permite hallar f(P) utilizando "la lista" y un punto, por ejemplo. IsomGeodGeod (2) proporciona, además, las geodésicas y la transformada de la segunda (la isometría puede conservar o no la orientación). Mover uno de los puntos elegidos.

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