Hipèrbola
- Autor:
- Josep Lluís Cañadilla
La hipèrbola com a lloc geomètric.
Donats dos punts F1 i F2, que anomenarem focus, quin és el lloc geomètric dels punts del pla que la diferència de les distàncies als focus sigui constant?
Tasca 1
En una finestra gràfica nova, dibuixeu dos punts i anomeneu-los F1(-3,0) i F2(3,0). A la línia d'entrada poseu: k=4. Inseriu un punt lliscant, anomeneu-lo d1 que prengui valors entre 0 i 8 amb increment 0.1. A la línia d'entrada poseu: d2=d1+k. Dibuixeu una circumferència de centre F1 i radi d1. Dibuixeu una circumferència de centre F2 i radi d2. Marqueu els dos punts d'intersecció de les dues circumferències. Dibuixeu una circumferència de centre F1 i radi d2. Dibuixeu una circumferència de centre F2 i radi d1. Marqueu els dos punts d'intersecció de les dues circumferències.
Activeu el traç d'aquest 4 punts. Observeu que aquest quatre punts compleixen que la diferència de les distàncies als punts F1 i F2 és 4.
Moveu el punt lliscant d1 i veureu el lloc geomètric dels punts del pla que la suma de les distàncies als dos punts és 4. Es tracta d'una recta? Es tracta d'una circumferència o d'una el·lipse? No, es tracta d'una corba anomenada hipèrbola i els punts F1 i F2 s'anomenen focus de la hipèrbola.
GeoGebra té una eina per dibuixar hipèrboles. Seleccioneu-la. Cliqueu sobre els punts F1 i F2 i sobre un punt negre del rastre. Observeu que la hipèrbola dibuixada coincideix amb el rastre negre. Observeu que a la Finestra algebraica ha aparegut un nou objecte i la seva expressió algebraica, és l'equació de la hipèrbola.
Tasca 2
L'equació general d'una hipèrbola, centrada en l'origen amb focus F1(-c,0) i F2(c,0) i que la resta de les distàncies sigui k, és:
on a2 = k2/4 i b2 = c2 - a2
Tenint en compte aquesta fórmula i amb llapis i paper, trobeu l'equació de la hipèrbola centrada a l'origen de coordenades amb focus F1(-4,0) i F2(4,0) i que la diferència de les distàncies sigui 6.
Introduïu la fórmula a la línia d'Entrada.
Ha sortit una hipèrbola?
L'equació de la hipèrbola que es visualitza a la finestra algebraica és la mateixa que la que heu posat? Heu provat de clicar amb el botó dret sobre la fórmula?
Els valors d'a i de b de la fórmula de quina manera es visualitzen en la hipèrbola? I la k?
Utilitzeu el comandament Focus() per determinar els focus de la hipèrbola.
Tasca 3
Descarregueu la imatge següent al vostre ordinador (cliqueu amb el botó dret sobre la imatge i seleccioneu Anomena i desa). Amb l'eina Imatge, que trobareu al penúltim bloc d'eines, inseriu la imatge al GeoGebra. Amb l'eina Hipèrbola, intenteu ajustar la hipèrbola a la imatge.
Tasca 4
Les hiperboles tenen una curiosa propietat que pots observar en aquesta construcció. Uns rajos de llum que sortissin del focus A en direcció a la corba, en rebotar, sortirien en direcció oposada a B.
Feu la construcció anterior seguint els passos següents:
- Dibuixeu una hipèrbola qualsevol amb l'eina Hipèrbola.
- Dibuixeu un punt D sobre la hipèrbola.
- Dibuixeu la recta tangent a la hipèrbola en el punt D.
- Dibuixeu la recta perpendicular a la recta anterior en el punt D.
- Feu una simetria de A respecte aquesta recta.
- Dibuixeu els segments AD i BD
- Dibuixeu la semirecta DA'