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Curso de Geometria Olímpica com GeoGebra II - (2026)

Autor:Cristian Roberto Miccerino de Almeida
Este Livro reúne as atividades desenvolvidas ao longo do curso Geometria Olímpica com GeoGebra II — 2026, uma formação de extensão universitária, gratuita e a distância, oferecida pela Universidade de São Paulo (USP) e coordenada e ministrada pelo Prof. Assoc. II Juan López Linares. O curso foi realizado no período de 14 de setembro a 9 de novembro de 2026, com duração de oito semanas e carga horária de 30 horas. As atividades foram desenvolvidas por meio do Moodle USP Extensão, com encontros síncronos realizados pelo Google Meet e utilização do software de geometria dinâmica GeoGebra. O curso tem como foco a resolução, a construção, a exploração e a apresentação de problemas de Geometria, especialmente aqueles relacionados à Geometria Olímpica, às Olimpíadas de Matemática e a vestibulares de alta concorrência. O uso do GeoGebra possibilita não apenas construir as figuras geométricas, mas também movimentá-las, investigar propriedades, formular conjecturas, verificar invariantes e apresentar visualmente as soluções. Este Livro foi elaborado como uma forma de registrar as atividades propostas e apresentadas durante o curso, reunindo as construções realizadas no GeoGebra em uma sequência organizada. Ao mesmo tempo, constitui um pequeno portfólio do percurso de aprendizagem, permitindo visualizar diferentes estratégias e ferramentas utilizadas ao longo da formação. As atividades aqui reunidas não devem ser compreendidas apenas como uma coleção de respostas. Elas representam diferentes formas de investigar problemas geométricos por meio da construção dinâmica, envolvendo conceitos como potência de ponto, eixo radical, relações entre áreas, teoremas de Ceva e Menelaus, pontos notáveis de um triângulo, circunferências, triângulo pedal, reta de Euler, caminhos mínimos, desigualdades e transformações geométricas. Assim, o Livro pretende funcionar simultaneamente como registro das atividades realizadas, coleção de construções dinâmicas e portfólio de aprendizagem, podendo também servir como material de consulta e compartilhamento com os demais participantes do curso. Objetivos Ao final do curso, espera-se que o estudante tenha desenvolvido conhecimentos relacionados ao uso do software gratuito GeoGebra, adquirindo maior familiaridade com seus recursos de construção, exploração e apresentação de objetos geométricos. Busca-se também proporcionar maior segurança na resolução de problemas de Geometria, especialmente aqueles presentes em Olimpíadas de Matemática e vestibulares, bem como desenvolver a capacidade de construir e apresentar soluções utilizando recursos de geometria dinâmica. Avaliação A avaliação do curso está dividida em duas categorias: Desafios (80%) e Apresentação (20%). Os Desafios são propostos ao final de cada tópico, sendo disponibilizado um desafio para cada encontro síncrono. A nota final dessa categoria é calculada por meio da média aritmética das atividades realizadas. Na categoria Apresentação, cada estudante deve apresentar para o restante da turma pelo menos uma das atividades desenvolvidas ao longo do curso, compartilhando sua construção e sua estratégia de resolução. Ementa A01: Potência de ponto relativo a circunferência e eixo radical. A02: Relações entre áreas. A03: Teoremas de Ceva e Menelaus. A04: Pontos notáveis I. Baricentro. A05: Pontos notáveis III. Circuncentro e Ortocentro. A06: Pontos notáveis II. Incentro. A07: Circunferências ex-inscritas. A08: Triângulo Pedal. A09: Reta de Euler. A10: Caminhos mínimos e desigualdades envolvendo elementos geométricos. A11: Transformações geométricas I. Translações. A12: Transformações geométricas II. Simetria e Rotação. A13: Transformações geométricas III. Inversão. A14: Apresentações I. A15: Apresentações II e Encerramento. Atividades reunidas neste Livro Ao longo do curso foram propostas 13 atividades, identificadas de D-1a a D-7a: D-1a — Potência de ponto relativo a circunferência e eixo radical. D-1b — Relações entre áreas. D-2a — Teoremas de Ceva e Menelaus e divisão harmônica. D-2b — Baricentro, simediana e relações métricas. D-3a — Circuncentro, ortocentro, reta de Euler e círculo de nove pontos. D-3b — Incentro e relações métricas associadas à incircunferência. D-4a — Ex-incentros e circunferências ex-inscritas. D-4b — Triângulo pedal, reta de Simson-Wallace e teorema de Carnot. D-5a — Centros de um triângulo e reta de Euler. D-5b — Caminhos mínimos, desigualdades e problemas olímpicos. D-6a — Transformações geométricas: translações. D-6b — Transformações geométricas: simetria e rotação. D-7a — Transformações geométricas: inversão. A sequência das atividades acompanha o desenvolvimento dos conteúdos trabalhados no curso e evidencia uma ampliação gradual das ferramentas utilizadas na investigação de problemas geométricos. Bibliografia e materiais de apoio Playlist de videoaulas de cursos anteriores. Disponível em: https://www.youtube.com/playlist?list=PL8v7luSb9qi6tg7XIcqfG_hT-qU-r4qS_ Construções passo a passo de Geometria Olímpica. Livro GeoGebra de acesso livre. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/vsfydv2v LÓPEZ LINARES, J. Teorema de Pitágoras: Demonstrações Interativas no GeoGebra. Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2022. 57 p. ISBN 978-65-87023-26-7 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023267 LÓPEZ LINARES, J. Transformação de Inversão: Teoria, Exercícios de Construção Geométrica, Problemas Olímpicos e Aplicações. Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2022. 105 p. ISBN 978-65-87023-25-0 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023250 LÓPEZ LINARES, J.; SANTOS, J. P. M.; FIRMIANO, A. Geometria Olímpica com GeoGebra v.1. Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2022. 86 p. ISBN 978-65-87023-21-2 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023212 LÓPEZ LINARES, J.; SANTOS, J. P. M.; FIRMIANO, A. Geometria Olímpica com GeoGebra v.2. Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2022. 115 p. ISBN 978-65-87023-23-6 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023236 LÓPEZ LINARES, J.; SANTOS, J. P. M.; FIRMIANO, A. Geometria Olímpica com GeoGebra v.3. Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2022. 115 p. ISBN 978-65-87023-24-3 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023243 LÓPEZ LINARES, J. Geometria: Soluções detalhadas para 20 problemas de Olimpíadas Internacionais de Matemática v. 3. Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2021. 82 p. ISBN 978-65-87023-14-4 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023144 LÓPEZ LINARES, J. Geometria: Soluções detalhadas para 20 problemas de Olimpíadas Internacionais de Matemática v. 2. Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2020. 69 p. ISBN 978-65-87023-11-3 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023113 LÓPEZ LINARES, J. Geometria: Soluções detalhadas para 20 problemas de Olimpíadas Internacionais de Matemática v. 1. Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos, 2020. 82 p. ISBN 978-65-87023-10-6 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023106 LÓPEZ LINARES, J. Soluções detalhadas para 20 problemas da Olimpíada Internacional de Matemática. Portal de Livros Abertos da USP, Pirassununga: Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos da Universidade de São Paulo, 2020. 81 p. ISBN 978-65-87023-04-5 (e-book). Disponível em: https://doi.org/10.11606/9786587023045 NETO, A. C. M. Geometria. Coleção ProfMat. Sociedade Brasileira de Matemática — SBM. 1. ed. 2013. 467 p. ISBN 9788585818937. Considerações finais A elaboração deste Livro representa uma forma de organizar e preservar parte do percurso desenvolvido durante o curso Geometria Olímpica com GeoGebra II — 2026. Mais do que reunir respostas para os desafios propostos, as construções apresentadas procuram registrar o processo de exploração, visualização, investigação e comunicação de ideias geométricas proporcionado pelo GeoGebra. A geometria dinâmica permite que uma figura deixe de ser apenas uma representação estática e passe a constituir um objeto de investigação. Ao movimentar pontos, alterar configurações e observar propriedades que permanecem invariantes, é possível formular conjecturas e buscar demonstrações com maior compreensão da estrutura geométrica envolvida. Dessa maneira, este Livro constitui não apenas um registro das atividades realizadas, mas também uma pequena síntese da experiência de aprendizagem proporcionada pelo curso, reunindo diferentes conceitos, estratégias e construções desenvolvidos ao longo das oito semanas de formação.
Curso de Geometria Olímpica com GeoGebra II - (2026)

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A1a: Potência de ponto relativo a circunferência e eixo radical (D-1a)

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