Función Cúbica
Función cúbica
Función cúbica es una función polinómica de grado 3. Su expresión matemática es f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.
Características de la función cúbica
- Intercepto con eje Y: punto (0, d). El número d de la función corresponde al término independiente.
- Raíces: una o tres raíces reales. La obtención de las raíces se puede hacer por factorización directa cuando es posible. En caso contrario, por división sintética o regla de Ruffini.
- Punto de inflexión: un punto de inflexión Pi que divide la gráfica en dos secciones, una cóncava y una convexa.
- Concavidad:
a) Si a > 0, la sección de la izquierda es cóncava, intervalo (] y la sección de la derecha es convexa, intervalo [). La expresión x(Pi) significa la abcisa del unto de inflexión Pi.
La sección cóncava puede tener un máximo y la sección convexa un mímino. Un caso que no tiene máximo ni mínimo es f(x) = ax3 + d pero sí tiene punto de inflexión.
b) Si a < 0, la sección de la izquierda es convexa, intervalo (] y la sección de la derecha es cóncava, intervalo [). Al igual que en el caso anterior, la cóncava puede tener un máximo y la convexa un mímino.
- Dominio: todos los reales, Df = R.
- Rango: todos los reales, Df = R.
- Crecimiento y decrecimiento:
a) Si a > 0. Se pueden presentar dos casos:
- Si no tiene extremos, es creciente en todo su dominio.
- Si tiene extremos, la gráfica se divide en tres secciones: la primera (a la izquierda hasta el punto máximo), es creciente; la segunda (parte central, entre máximo y mínimo), es decreciente; y la tercera (a la derecha desde el punto mínimo), es creciente.
b) Si a < 0. También se pueden presentar dos casos:
- Si no tiene extremos, es decreciente en todo su dominio.
- Si tiene extremos, la gráfica se divide en tres secciones: la primera (hasta el punto mínimo), es decreciente; la segunda (entre mínimo y máximo), es creciente, y la tercera (desde el punto máximo), es decreciente.
- Es función impar (simétrica al origen) si es de la forma . En ese caso se cumple que .
A continuación se presenta un applet que permite analizar las diferentes características de la función cúbica.
Se reitera que los criterios de primera y segunda derivada del cálculo permiten analizar y graficar las principales características de las funciones.