Propositie 12
Constructie van een loodlijn uit een punt dat niet op een gegeven rechte ligt.
Inleiding
Propositie 12 lijkt sterk op propositie 11. In beide gevallen construeert Euclides een loodlijn. In propositie 11 ligt het gegeven punt op de rechte, in propositie 12 ligt het buiten de rechte.
Oude versie
Vanuit een gegeven punt buiten een gegeven rechte lijn een loodlijn construeren op die rechte lijn.
AB is de gegeven rechte lijn en C het gegeven punt daarbuiten. Het is dus vereist vanuit het gegeven punt C een loodlijn te trekken op de gegeven rechte lijn AB.
Neem een willekeurig punt D aan de andere zijde van de rechte lijn AB. Beschrijf met middelpunt C en afstand CD de cirkel EFG. (post 3)
Halveer het lijnstuk EG in H. (prop 10)
Trek de lijnstukken CG, CH en CE. (post 1)
Ik zeg dat CH loodrecht is getrokken op de gegeven rechte lijn AB vanuit het gegeven punt C daarbuiten.
Omdat GH gelijk is aan HE en HC gemeenschappelijk is, zijn de twee zijden GH en HC gelijk aan de twee zijden EH en HC. De basis CG is gelijk aan de basis CE. Dus is de hoek CHG gelijk aan de hoek EHC. (prop 8)
Dit zijn nevenliggende hoeken. Maar wanneer een rechte lijn op een rechte lijn staat en de nevenliggende hoeken gelijk zijn aan elkaar, dan is elk van die hoeken een rechte hoek, en de rechte lijn die op de andere staat wordt een loodlijn genoemd. (def 10)
Dus is CH loodrecht getrokken op de gegeven rechte lijn AB vanuit het gegeven punt C daarbuiten.