La danza dei numeri complessi: da z a z^n. Spirali nel piano di Argand Gauss
La potenza di un numero complesso attraverso la formula dei De Moivre
1. Numero complesso in forma polare o trigonometrica
Un numero complesso può essere scritto in forma
polare o trigonometrica:
dove:
dove:
è il modulo 
è l'argomento (l’angolo orientato che il vettore (a,b) forma con il semiasse reale positivo)
PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI
2. Prodotto di numeri complessi in forma polare
Dimostra che : Se 
e 
, allora il loro prodotto è:
Notate come i moduli si moltiplicano e gli argomenti si
sommano.
In una precedente attività abbiamo visto che la moltiplicazione tra due numeri complessi ha un ben significato geometrico:
moltiplicare un numero complesso Questo è di cruciale importanza per le potenze.
POTENZE DI UN NUMERO COMPLESSO
3. Potenza di un numero complesso
Per la potenza 
(con 
), scriviamo 
in forma trigonometrica e
moltiplichiamo per se stesso 
volte:
Moltiplicando n volte, dal punto precedente
otteniamo:
Questa è esattamente la formula di de Moivre:
P.S. Al termine dell'attività troverai una bellissima dimostrazione per induzione della formula di De Moivre
APPROFONDIMENTO 1. DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI DE MOIVRE
Dimostrazione della formula di de Moivre
Per induzione su 
Vera.
Allora per 
:
Usando la regola del prodotto:
Ma per le formule di addizione del coseno e seno:
Quindi:
Induzione completata.
- Base
(
):
Vera.
- Passo induttivo: supponiamo che valga per :
Allora per :
Usando la regola del prodotto:
Ma per le formule di addizione del coseno e seno:
Quindi:
Induzione completata.