Differenzierbarkeit

In diesem GeoGebra Projekt soll mit Hilfe der unten zur Verfügung gestellten Applets das Thema Differenzierbarkeit erarbeitet werden. Das Ziel ist es, dass Sie wissen, was Differenzierbarkeit bedeutet und wann diese möglich ist. Im Abschnitt 1 - Erläuterung und Definition zur Differenzierbarkeit Im Abschnitt 2 - Vertiefung (graphische Untersuchung von Funktionen auf ihre Differenzierbarkeit)

Die Differenzierbarkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen. Ist eine Funktion differenzierbar, kann an jedem Punkt auf dem Graphen der Funktion eine Tangente konstruiert werden und diese gibt Auskunft darüber, ob und wo die Funktion abgeleitet werden kann.

(Olivier Sète & Jörg Liesen: Analysis I und Lineare Algebra für Ingenieurwissenschaften TU Berlin, Differenzierbarkeit)  Zur Motivation sei f : I → eine stetige Funktion auf dem Intervall I und x₀, x₁ ∈ I. Dann lässt sich eine Gerade durch die Punkte (x₀, f(x₀)) und (x₁, f(x₁)) legen, eine sogenannte Sekante. Die Steigung der Sekante ist . Die Sekante wird daher beschreiben. Für geht die Sekante in die Tangente mit der allgemeinen Gleichung über, sollte diese existieren. Die Steigung der Tangente ist            . Definition (Differenzierbarkeit). Sei f : R ⊇ D → R eine Funktion. 1) f heißt differenzierbar in x₀ ∈ D, falls        existiert. f'(x₀) heißt ableiten f in x₀. 2) f heißt differenzierbar auf D, falls f in allen x₀ ∈ D differenzierbar ist. Dann heißt die Abbildung        die Ableitung von f. Den Übergang von f zu f' nennt man Ableiten oder Differenzieren. (D = Definitionsbereich)

Was diese Definition nun genau aussagt, können Sie dem nachfolgendem Applet entnehmen. Dazu verschieben Sie den Punkt M Richtung P, so dass die beiden Punkte direkt übereinander liegen. Die Sekante nimmt dann die gleiche Steigung an wie die Tangente, da an dem Punkt, also wenn M genau auf P liegt aus der Sekante die Tangente wird. Überprüfen kann man dies anhand der automatisch berechneten Werte. An der Tangente wird direkt die Steigung angezeigt und zusätzlich mit der blauen Formel berechnet, die Steigung der Sekante wird in der roten Formel über die Punkte berechnet. Es können alle Punkte frei verschoben werden. Hinweis: Verschiebt man die Punkte M und P exakt aufeinander, kann es passieren, dass die Sekante verschwindet und der Wert wird nicht mehr dargestellt wird.

In dem Nachfolgendem Applet können Sie in das Eingabefeld Funktionen eintragen, die Sie auf die Differenzierbarkeit überprüfen wollen. Sobald Sie eine Funktion eintragen, wird der Graph der Funktion mit einem Punkte A und der dazugehörigen Tangente konstruiert. Verschieben Sie den Punkt auf dem Graphen und beobachten Sie das Verhalten der Tangente. Sollte die Tangente an jedem Punkt auf dem Graphen sichtbar sein, so ist die Funktion differenzierbar. Aufgrund der besseren Sichtbarkeit und Darstellung wurde der Definitionsbereich der Funktion auf (-3 ≤ x ≤ 3) begrenzt.