Propositie 10
Een gegeven lijnstuk in twee gelijke delen verdelen
Inleiding
In propositie 10 toont Euclides hoe je een lijnstuk in twee gelijke delen kan verdelen zonder het te meten. Hij construeert dus het middelpunt van het lijnstuk.
Wij kennen het eindresultaat als de constructie van de middelloodlijn, maar het feit dat de getekende rechte loodrecht op het lijnstuk staat, komt pas in propositie 11 aan bod.
Oude versie
Een gegeven eindig lijnstuk middendoor delen.
Zij AB het gegeven eindige lijnstuk. Het is dus vereist het eindige lijnstuk AB te halveren.
Construeer op AB de gelijkzijdige driehoek ABC. (prop 1)
Halveer de hoek ACB met de rechte lijn CD. (prop 9)
Ik zeg dat het lijnstuk AB gehalveerd is in punt D.
Omdat AC gelijk is aan CB en CD gemeenschappelijk is, zijn de twee zijden AC en CD gelijk aan de twee zijden BC en CD. De hoek ACD is gelijk aan de hoek BCD. Dus is de basis AD gelijk aan de basis BD. (prop 4)
Het gegeven eindige lijnstuk AB is dus gehalveerd in punt D.