Mantelflächen vergleichen
Um herauszufinden, wie viel Wachs für eine bestimmte Zellenform gebraucht wird, müssen wir die Oberfläche der Zelle bestimmen. Damit wir die Oberfläche verschiedener Zellenformen sinnvoll vergleichen können, müssen alle Zellen das gleiche Volumen haben.
Warum machen wir das so?
Stell dir vor, wir vergleichen verschiedene Zellenformen, ohne darauf zu achten, dass sie das gleiche Volumen haben. Dann könnte für eine Zellenform weniger Wachs gebraucht werden, weil sie kleiner ist und nicht, weil sie eine kleinere Oberfläche hat.
Damit das nicht passiert, sorgen wir dafür, dass die verschiedenen Zellenformen die gleiche Grundfläche und die gleiche Höhe haben. So haben sie automatisch das gleiche Volumen und wir können sinnvoll vergleichen, welche Form am wenigsten Wachs benötigt.
Das Volumen V einer Zelle berechnet sich aus der Grundfläche G und der Höhe h mit der Formel:
V = G h
Das bedeutet: Wenn die Grundfläche G und die Höhe h bei allen Zellen gleich sind, dann haben sie auch das gleiche Volumen V. Da die Grundfläche und somit auch die Deckfläche bei allen Zellenformen gleich groß ist, spielen sie für den Vergleich keine Rolle mehr. Wir müssen also nur die Mantelflächen der verschiedenen Zellenformen vergleichen. Unsere Frage lautet also:Welcher geometrische Körper hat bei gleichem Volumen die kleinste Mantelfläche?
Wir untersuchen die folgenden geometrischen Körper:- Gerade Prismen mit regelmäßiger Grundfläche (regelmäßiges Dreieck, Viereck, Fünfeck, Sechseck, Achteck)
- Gerader Zylinder
- Hole dir die Vorlagen der Körpernetze.
- Jedes Körpernetz zeigt, wie der Körper aussieht, wenn er „auseinandergefaltet“ ist.
- Jeder dieser Körper hat eine Grundfläche von 25 cm² und eine Höhe von 6 cm.
- Vergleiche die Größe der Mantelflächen.
- Finde heraus, welcher dieser Körper bei gleichem Volumen die kleinste Mantelfläche hat.
- Auf der nächsten Seite „Prismen & Zylinder erforschen" kannst du im ersten Applet die verschiedenen Prismen untersuchen.
- Im zweiten Applet kannst du einen geraden Zylinder untersuchen.
- Wähle eine feste Grundfläche und eine feste Höhe.
- Vergleiche die Größe der Mantelflächen.
- Finde heraus, welcher dieser Körper bei gleichem Volumen die kleinste Mantelfläche hat.
- Überlege dir passende Formeln zur Berechnung der Mantelfläche der ausgewählten Körper.
- Überlege dir passende Formeln zur Berechnung der Seitenlänge der Grundfläche (bei Prismen) bzw. des Radius der Grundfläche (beim Zylinder).
- Falls du Hilfe brauchst, kannst du eine Formelsammlung nutzen oder im Internet nachsehen.
- Wähle eine feste Grundfläche und eine feste Höhe.
- Berechne die Mantelfläche für die ausgewählten Körper.
- Vergleiche die Größe der Mantelflächen.
- Finde heraus, welcher der ausgewählten Körper bei gleichem Volumen die kleinste Mantelfläche hat.