Elfmeterschießen bei der WM - Binomialverteilung entdecken

Einführung

Zufallsexperimente, bei denen nur zwei Ausgänge (Treffer oder Niete, Erfolg oder Misserfolg) möglich sind, nennt man Bernoulli-Experimente. Führt man ein Bernoulli-Experiment mehrfach durch, so spricht man von einer Bernoulli-Kette. Heute geht es darum, die Formel herzuleiten, mit der man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X = "Anzahl der Treffer" bestimmen kann. Diese Verteilung nennen wir Binomialverteilung.

Elfmeterschießen bei der WM

Ein WM-Elfmeterschießen wird vereinfacht modelliert: Es gibt fünf Schüsse, jeder Schuss endet entweder mit Treffer oder Nicht-Treffer. Die Trefferwahrscheinlichkeit wird konstant mit p=0,75 angenommen. Untersucht, wie wahrscheinlich die möglichen Trefferzahlen von 0 bis 5 sind.

Toni Kroos am Elfmeterpunkt ([url=https://www.eurosport.de/fussball/elfmeter-kroos-bietet-sich-an_sto5677253/story.shtml]https://www.eurosport.de/fussball/elfmeter-kroos-bietet-sich-an_sto5677253/story.shtml[/url], letzter Zugriff: 17.09.2019) — Toni Kroos am Elfmeterpunkt (https://www.eurosport.de/fussball/elfmeter-kroos-bietet-sich-an_sto5677253/story.shtml, letzter Zugriff: 17.09.2019)

Aufgabe 1

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler einen Elfmeter verwandelt, beträgt p=0.75. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Elfmeter nicht verwandelt wird.

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Aufgabe 2

Berechnen Sie mithilfe des Baumdiagramms (siehe unten), mit welcher Wahrscheinlichkeit das Team bei den nächsten zwei Elfmetern keinmal, einmal oder zweimal trifft. Zur Kontrolle: Trennen Sie ihre Ergebnisse bei der Eingabe durch ein "-", z.B. 0.25-0.33-0.75. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen. Verwenden Sie die untenstehende Tabelle als Vorlage.

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Aufgabe 3

Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe eines Baumdiagramms (siehe unten), dass eine Mannschaft bei den nächsten drei Elfmetern keinmal, einmal, zweimal oder dreimal trifft. Zur Kontrolle: Trennen Sie ihre Ergebnisse bei der Eingabe durch ein "-", z.B. 0.25-0.33-0.75. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen. Verwenden Sie die untenstehende Tabelle als Vorlage.

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Vorlage zur Auswertung der Ergebnisse

Werkzeug zum Erstellen der Baumdiagramme

Tempoaufgabe:

Betrachten Sie ihre Berechnungen in ihrer Tabelle. Können Sie Muster und Strukturen erkennen?

Aufgabe 4

Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse in der Gruppe. Untersuchen Sie, welche Muster Sie in der Tabelle erkennen. Entwickeln Sie daraus eine allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau k Treffern bei n Versuchen.

Aufgabe 5

Überprüfen Sie Ihre Formel anhand von drei selbst gewählten Beispielen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten zunächst mit dem Taschenrechner und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse anschließend mit dem GeoGebra-Applet. Variieren Sie dazu die Werte von n, p und k.

Vertiefungsaufgabe

1) Bestimmen Sie mit Hilfe von Geogebra die Wahrscheinlichkeit, dass ein Team mindestens 17 Treffer bei 20 Elfmetern erzielt - gesucht ist also . 2) Bestimmen Sie mit Hilfe von Geogebra die Wahrscheinlichkeit, dass das Team höchstens 17 Treffer bei 20 Elfmetern erzielt, gesucht ist also . 3) Beschreiben Sie, welche Säulen im Diagramm jeweils zur gesuchten Wahrscheinlichkeit gehören.

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